Question

1．如图所示，在xOy平面坐标系的坐标原点O处有一点状放射源，放射源可以向xOy平面内的x轴上方各个方向发射质量为m、电荷量为+q的粒子，粒子的初速度大小均为v₀，在0＜y＜d的区域内有沿y轴正方向的匀强电场，场强大小为E=$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2qd}$，在d＜y＜2d的区域内有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，ef为电场和磁场的边界线，足够大的平面感光板ab垂直于xOy平面且平行于x轴放置在y=2d处，结果发现此时恰好无粒子打到感光板ab上．（不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用）．求：
（1）粒子通过电场和磁场边界ef时的速度大小；
（2）匀强磁场的磁感应强度大小；
（3）要使所有粒子均能打到感光板ab上，应将ab板从图中位置至少向下平移多大距离？并求此时感光板ab被粒子打中区域的长度．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出α粒子刚进人磁场时的速度．
（2）粒子沿x轴正方向射出的粒子进入磁场偏转的角度最大，若该粒子进入磁场不能打在ab板上，则所有粒子均不能打在ab板上．根据带电粒子在电场中类平抛运动，求出进入磁场中的偏转角度，结合几何关系得出轨道半径，从而得出磁感应强度的大小．
（3）沿x轴负方向射出的粒子若能打到ab板上，则所有粒子均能打到板上．其临界情况就是此粒子轨迹恰好与ab板相切．根据带电粒子在磁场中运动的轨道半径大小得出磁场的宽度，从而确定出ab板移动的位置，根据几何关系求出ab板上被α粒子打中的区域的长度．

解答 解：（1）根据动能定理：qEd=$\frac{1}{2}$mv_t²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：v_t=2v₀；
（2）根据上题结果可知v_t=2v₀，对于沿x轴正方向射出的粒子进入磁场时与x轴正方向夹角θ=$\frac{π}{3}$，
其在电场中沿x方向的位移：x₁=v₀t=v₀$\sqrt{\frac{2d}{\frac{qE}{m}}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$d，
易知若此粒子不能打到ab板上，则所有粒子均不能打到ab板，因此此粒子轨迹必与ab板相切，
可得其圆周运动的半径：r=$\frac{2}{3}$d，
又根据洛伦兹力提供向心力，qv_tB=m$\frac{{v}_{t}^{2}}{r}$，
解得：B=$\frac{3m{v}_{0}}{qd}$；
（3）易知沿x轴负方向射出的粒子若能打到ab板上，则所有粒子均能打到板上．其临界情况就是此粒子轨迹恰好与ab板相切．由图可知此时磁场宽度为原来的$\frac{1}{3}$，即当ab板位于：y=$\frac{4}{3}$d的位置时，恰好所有粒子均能打到板上，有：△d=2d-$\frac{4}{3}$d=$\frac{2}{3}$d；
ab板上被打中区域的长度为：L=2x₁+r=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$d+$\frac{2}{3}$d；
答：（1）沿+x方向射出的a粒子刚进入磁场时速度大小为2v₀；
（2）匀强磁场磁感应强度B的大小为$\frac{3m{v}_{0}}{qd}$；
（3）要使所有粒子均能打到感光板ab上，应将ab板从图中位置至少向下平移$\frac{2}{3}$d，此时感光板ab被粒子打中区域的长度为：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$d+$\frac{2}{3}$d．

点评 本题考查了带电粒子在电场和磁场中的运动，关键确定粒子运动的临界情况，通过几何关系解决，对学生数学几何能力要求较高．