Question

17．地球两极的重力加速度为g₀，赤道处的重力加速度为g，地球自转的周期为T，由于某种原因，假设地球自转加快，赤道处的重力加速度变化了10%．求地球自转加快后的周期．

Answer 1

分析 质量为m的物体在两极所受地球的引力等于其所受的重力，在赤道的物体所受地球的引力等于其重力和向心力的矢量和，根据牛顿第二定律和万有引力定律列式后联立求解即可．

解答 解：物体在地球两极时：$m{g}_{0}^{\;}=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
赤道处：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}-mg=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
假设地球自转加快，随地自转的向心力增大，赤道处的重力加速度减小，为：
g′=（1-10%）g=0.9g
自转加快后，有：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}-mg′=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{′2}}R$
联立得：$\frac{{g}_{0}^{\;}-g}{{g}_{0}^{\;}-0.9g}=\frac{{T}_{\;}^{′2}}{{T}_{\;}^{2}}$
解得：$T′=\sqrt{\frac{{g}_{0}^{\;}-g}{{g}_{0}^{\;}-0.9g}}T$
答：地球自转加快后的周期为$\sqrt{\frac{{g}_{0}^{\;}-g}{{g}_{0}^{\;}-0.9g}}T$．

点评 解决本题的关键是认识到在赤道处的重力实为地球对物体的万有引力减去物体随地球自转的向心力，掌握力的关系是正确解题的前提．