Question

7．如图所示，位于竖直平面上的$\frac{1}{4}$圆弧光滑轨道，半径为R，OB沿竖直方向，圆弧轨道上端A点距地面高度为H，质量为m的小球从A点静止释放，到B点的速度为$\sqrt{2gR}$，最后落在地面C点处，不计空气阻力．
试求：
（1）小球刚运动到B点时，对轨道的压力多大？
（2）小球落地点C与B的水平距离S为多少？
（3）比值$\frac{R}{H}$为多少时，小球落地点C与B水平距离S最远？该水平距离的最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）在B点，由重力和支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求出支持力，再由牛顿第三定律得到压力．
（2）小球从B点抛出后做平抛运动，根据高度求出时间，再平抛运动的位移公式求水平距离S．
（3）小球由A→B过程中，只有重力做功，根据机械能守恒定律和平抛运动的规律得到水平位移的表达式，再利用数学知识求解平距离的最大值．

解答 解：（1）小球沿圆弧做圆周运动，在B点由牛顿第二定律有：
N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
据题：v_B=$\sqrt{2gR}$
解得  N=3mg根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小等于轨道对小球的支持力，为3mg．
（2）小球由B→C过程做平抛运动，则
水平方向有：
S=v_Bt
竖直方向有：H-R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得 S=2$\sqrt{（H-R）R}$ 
（3）由上知，水平距离：S=2$\sqrt{（H-R）R}$ 
 所以，当F-R=R，即$\frac{R}{H}$=$\frac{1}{2}$时，S最大，且最大值为：S_m=2×$\frac{H}{2}$=H
答：（1）小球刚运动到B点时，对轨道的压力为3mg．
（2）小球落地点C与B的水平距离S为2$\sqrt{（H-R）R}$．
（3）比值$\frac{R}{H}$为$\frac{1}{2}$时，小球落地点C与B水平距离S最远，该水平距离的最大值是H．

点评 本题关键对两个的运动过程分析清楚，然后选择机械能守恒定律和平抛运动规律列式求解；第3问要用数学的二次函数的知识讨论极值问题，考查学生用数学知识解决物理问题的能力．