Question

19．已知某星球质量是地球的2倍，半径是地球的0.5倍，求该星球的第一宇宙速度和该星球表面的重力加速度？（已知地球第一宇宙速度是7.9m/s，重力加速度g=10m/s²）

Answer 1

分析 根据万有引力提供圆周运动向心力，求出第一宇宙速度的表达式，根据万有引力等于重力，得到星球表面重力加速度的表达式，再结合星球与地球半径和质量的关系求解即可．

解答 解：第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，由万有引力提供向心力得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$；
该星球的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比：
  $\frac{{v}_{星}}{{v}_{地}}$=$\frac{\sqrt{\frac{G{M}_{星}}{{R}_{星}}}}{\sqrt{\frac{G{M}_{地}}{{R}_{地}}}}$=$\sqrt{\frac{2}{1}×\frac{2}{1}}$=2，
所以该星球的第一宇宙速度：v_星=2v_地=15.8km/s
在天体表面上，由重力等于万有引力，即：mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$，解得：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，
则得星球表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比：
  $\frac{{g}_{星}}{{g}_{地}}$=$\frac{\frac{G{M}_{星}}{{R}_{星}^{2}}}{\frac{G{M}_{地}}{{R}_{地}^{2}}}$=$\frac{2}{1}×\frac{{2}^{2}}{1}$=8
该星球表面的重力加速度：g_星=8g=80m/s²；
答：该星球的第一宇宙速度为15.8km/s，该星球表面的重力加速度是80m/s²．

点评 本题关键是根据第一宇宙速度的表达式列式求解，其中第一宇宙速度为贴近星球表面飞行的卫星的环绕速度．