Question

13．如图a所示，水平放置的两根间距L=0.5m足够长的平行金属导轨MN和PQ，在M、P之间接有阻值R=0.2Ω的定值电阻．一质量m=0.1kg的均匀导体棒ab垂直于导轨放在距离左端d=1.0m处，导体棒与导轨接触良好，整个装置处在范围足够大的匀强磁场中，t=0时刻，磁场方向竖直向下，磁感应强度B随时间t的变化如图b所示．不计感应电流磁场的影响，当t=3s时，突然使ab棒获得向右的速度v₀=8m/s，同时在棒上施加一方向水平、大小可变化的外力F，保持ab棒具有大小恒为a=4m/s²、方向向左的加速度．已知导体棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.1，导轨和导体棒电阻均忽略不计，取重力加速度大小g=10m/s²，求：

（1）前3s内ab棒中感应电流的大小和方向；
（2）当ab棒的位移s₁=3.5m时，外力F的大小和方向；
（3）从t=0时刻开始，当通过电阻R的电量q=2.25C时，ab棒正在向右运动，此时撤去外力F，此后ab棒又运动了s₂=6.05m后静止．求撤去外力F后电阻R上产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）由图b的斜率读出$\frac{△B}{△t}$，由法拉第电磁感应定律求出回路中感应电动势，由欧姆定律求解感应电流的大小，根据楞次定律判断感应电流的方向．
（2）t=3s后，ab棒做匀变速运动，位移s₁=3.5m时，由公式v²-${v}_{0}^{2}$=2as求出速度大小，由安培力公式F=BIL和感应电动势公式E=BLv、欧姆定律求出安培力的大小，再由牛顿第二定律求解外力F．要分导体棒向左和向右两种情况研究．
（3）由法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量公式结合求出3s后到撤去外力F时导体棒运动的位移s，再运动学公式和动能定理结合求解热量．

解答 解：（1）由图知$\frac{△B}{△t}$=$\frac{0.2}{2}$=0.1T/s，
根据法拉第电磁感应定律，则有：$E=\frac{△∅}{△t}$=$\frac{△BLd}{△t}$=0.1×0.5×1V=0.05V
由闭合电路欧姆定律，则有：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{0.05}{0.2}$=0.25A；
根据楞次定律，ab棒中电流方向为由a到b；

（2）ab棒做匀变速运动，位移s₁=3.5m时，速度大小设为v₁，则
v₁²-${v}_{0}^{2}$=2as   
代入数据a=-4m/s²     
解得：v₁=6m/s
对应安培力大小：F_A=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$=$\frac{0．{1}^{2}×0．{5}^{2}×6}{0.2}$=0.075N     
向右运动时，F+μmg+F_A=ma，F+0.1+0.075=0.1×4，F=0.225N；方向向左；
向左运动时，F-μmg-F_A=ma，F-0.1-0.075=0.1×4，F=0.575N；方向向右；
（3）前3s内通过电阻R的电量为：q₁=I×△t=0.25×3 C=0.75C  
设3s后到撤去外力F时又运动了s则有：
${q}_{2}=\overline{I}△t$=$\frac{△∅}{△t×R}$×△t=$\frac{△∅}{R}$=$\frac{BIs}{R}$=q-q₁=1.5C；
解得：s=6m
此时ab棒的速度设为v₂则：
v₂²-${v}_{0}^{2}$=2as           
解得：v₂=4m/s
此后到停止，由动能定理：
W_A+W_f=△E_k  
且W_A=-Q
解得：Q=W_f-△E_k=-μmgs₂-（0-$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$）=（-0.605+0.8）J=0.195J．
答：（1）前3s内ab棒中感应电流的大小0.25A和方向由a到b；
（2）当ab棒的位移s₁=3.5m时，外力F的大小0.575N和方向向右；
（3）撤去外力F后电阻R上产生的热量0.195J．

点评 本题是电磁感应与电路、力学知识的综合，关键要正确分析导体棒的受力情况和能量转化的情况，熟练推导出安培力与速度的关系，感应电量与磁通量变化的关系，正确把握功和能的关系．