Question

6．宇航员来到某星球表面做了如下实验：将一小钢球由距星球表面高h（h远小于星球半径）处由静止释放，小钢球经过时间t落到星球表面，该星球为密度均匀的球体，引力常量为G．
（1）求该星球表面的重力加速度；
（2）若该星球的半径为R，有一颗卫星在距该星球表面高度为H处的圆轨道上绕该星球做匀速圆周运动，求该卫星的线速度大小．

Answer 1

分析 （1）小球在星球表面做自由落体运动，其加速度等于该星球表面的重力加速度g，根据自由落体运动的规律列式求g；
（2）根据万有引力提供向心力列式化简可得卫星的线速度大小’

解答 解：（1）小球做自由落体运动，根据$h=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$得星球表面的重力加速度为：
$g=\frac{2h}{{t}_{\;}^{2}}$
（2）根据万有引力提供向心力：
$G\frac{Mm}{（R+H）_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R+H}$…①
星球表面物体重力等于万有引力，则有
$m′g=G\frac{Mm′}{{R}_{\;}^{2}}$…②
联立①②得：$v=\frac{R}{t}\sqrt{\frac{2h}{R+h}}$
（1）该星球表面的重力加速度$\frac{2h}{{t}_{\;}^{2}}$；
（2）若该星球的半径为R，有一颗卫星在距该星球表面高度为H处的圆轨道上绕该星球做匀速圆周运动，该卫星的线速度大小$\frac{R}{t}\sqrt{\frac{2h}{R+h}}$．

点评 本题是万有引力与自由落体运动的综合，要抓住自由落体运动的加速度就等于重力加速度，根据万有引力等于重力和万有引力提供向心力联合求解．