Question

8．如图所示，半径R=0.8m，$\frac{1}{4}$定在水平地面上，O为该圆弧的圆心，轨道上方的A处有一个可视为质点的质量m=1kg的小物块，小物块由静止开始下落后恰好沿切线进入$\frac{1}{4}$圆弧轨道，此后小物块将沿圆弧轨道下滑，已知AO连线与水平方向的夹角θ=53°道末端C点紧靠一质量M=3kg的长木板，木板上表面与圆弧轨道末端的切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑，小物块与长木板间的动摩擦因数μ=0.3刚要到达C处时对轨道的压力为55N，且最终小物块与长木板以共同速度向右运动，小物块从A点至达到共速历时2.1s．已知$\sqrt{6}$=2.45，sin53°=0.8，g取10m/s²．
（1）小物块刚到达到C处时的速度大小为多少？
（2）小物块在圆弧轨道上的运动时间
（3）整个过程中小物块损失的机械能．

Answer 1

分析 （1）在C点，由牛顿第二定律列式求解小物块刚到达到C处时的速度大小；
（2）小物块先做自由落体运动，根据自由落体运动基本公式求出时间，滑上木板后，分别对小物块和木板，根据牛顿第二定律求出加速度，根据运动学基本公式求出速度相等时的时间以及此时的速度，则小物块在圆弧轨道上的运动时间等于总时间减去自由落体的时间以及在长木板上运动的时间；
（3）整个过程中小物块损失的机械能等于减小的重力势能减去增加的动能．

解答 解：（1）在C点，由牛顿第二定律得：
${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$
带入数据解得：v_C=6m/s
（2）设小物块做自由落体运动的时间为t₁，在圆弧轨道上的时间为t₂，在长木板上滑行的时间为t₃，共同运动的速度为v，则
$Rtanθ=\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$
解得：t₁=0.49s
滑上木板后，对小物块，根据牛顿第二定律得：μmg=ma₁，解得：${a}_{1}=3m/{s}^{2}$，
对长木板：μmg=Ma₂，解得：${a}_{2}=1m/{s}^{2}$，
v=v_C-a₁t₃=a₂t₃
解得：t₃=1.5s，v=1.5m/s
t₂=t-t₁-t₃=0.11s
（3）整个过程中小物块损失的机械能$△E=mg（R+Rtanθ）-\frac{1}{2}m{v}^{2}=18.875J$．
答：（1）小物块刚到达到C处时的速度大小为6m/s；
（2）小物块在圆弧轨道上的运动时间为0.11s；
（3）整个过程中小物块损失的机械能为18.875J．

点评 本题主要考查了牛顿第二定律、自由落体运动以及运动学基本公式的直接应用，解题时要求同学们能正确分析物体的受力情况和运动情况，圆弧上时间不好直接求解，可以用总时间减去自由落体的时间以及在长木板上运动的时间，难度适中．