Question

16．2007年10月24日18时5分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号甲”运载火箭将“嫦娥一号”卫星成功送入太空．“嫦娥一号”绕月探测飞行将完成四大科学探测任务获取月球全表现三维图象；分析月球表面化学元素和物质类型的含量和分布；探测月壤特性；探测4万至40万公里间地月空间环境．现已知地球自转周期为T₀，月球半径R，卫星距离月球高度h，月球表面重力加速度为g，万有引力常量G．下列说法中正确的是（　　）

• A． “嫦娥一号”卫星绕月球运行的速率v=$\sqrt{g（R+h）}$
• B． “嫦娥一号”卫星和地球的角速度之比为$\frac{{T}_{0}}{2π}$$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{（R+h）^{3}}}$
• C． 利用以上数据可以求出月球的质量
• D． 月球的密度ρ=$\frac{3Gg}{4πR}$

Answer 1

分析 由题意可知，可以求出卫星的轨道半径，卫星绕月球做匀速圆周运动，由月球的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律求出“嫦娥一号”的线速度与角速度；然后结合密度公式分析能否求出月球的质量和密度．根据月球对卫星的万有引力等于卫星的重力，得到月球表面的重力加速度．

解答 解：设该卫星的运行周期为T、质量为m，月球的半径为R、质量为M，卫星距月球表面的高度为h，由题意知，卫星的轨道半径r=R+h，
“嫦娥一号”卫星在月球表面受到的吸引力：mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$，所以，g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
A、卫星绕月球做圆周运动，万有引力提供向心力，
由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R+h}$
所以：v=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$．故A错误；
B、卫星绕月球做圆周运动，万有引力提供向心力，
由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=mω²（R+h）
所以：ω=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{（R+h）^{3}}}$
地球自转的角速度：$ω′=\frac{2π}{{T}_{0}}$
所以“嫦娥一号”卫星和地球的角速度之比为$\frac{{T}_{0}}{2π}$$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{（R+h）^{3}}}$．故B正确；
C、卫星绕月球做圆周运动，万有引力提供向心力，
由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$（R+h），
则月球质量M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$，故C正确；
D、月球的密度ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$，故D错误；
故选：BC

点评 已知卫星的运行周期和轨道半径，可求出月球的质量，这个结果可推广到行星绕太阳：若已知行星的公转半径和周期，可求出太阳的质量．