Question

如图所示，一个

3

4

圆弧形光滑轨道ABC，放置在竖直平面内，轨道半径为R，在A 点与水平地面AD相接，地面与圆心O等高，MN是放在水平地面上长为3R、厚度不计的垫子，左端M正好位于A点．将一个质量为m的小球从A处正上方某处由静止释放，不考虑空气阻力，若小球能从C点射出并打到垫子上，小球距离A点的高度在什么范围？

Answer 1

分析：根据重力提供向心力求出小球经过C点的最小速度，然后根据平抛运动知识求出射程；在根据恰好射到N点得到经过C点的最大速度；最后根据机械能守恒定律求初位置高度．

解答：解：小球能通过C点，在C点最小速度v满足：
mg=m

v2

R

解得
v=

gR

小球离开C点做平抛运动，落到M点时间t为：
t=

2R g

此时水平距离：x=vt=

2

R＞R，小球能落在垫子上
小球在C点的最大速度为v′：
4R=v′t
解得
v′=2

2gR

设小球距离A点的高度为h，则小球运动到C点的过程中，有
mg(h-R)=

1

2

m

v

2 C

由上可知，要使小球落在垫子上：

gR

≤vC≤

8gR

解得：

3

2

R≤vC≤5R
即小球能从C点射出并打到垫子上，小球距离A点的高度范围是

3

2

R≤vC≤5R．

点评：本题关键根据小球能通过C点，以及要落在垫子上求出小球经过C点的速度范围，然后根据机械能守恒定律求解初位置的高度．