Question

10．动能相等的两人造地球卫星A、B的轨道半径之比R_A：R_B=1：2，它们的角速度之比ω_A：ω_B=2$\sqrt{2}$：1，质量之比m_A：m_B=1：2．若两颗人造地球卫星的周期之比为T₁：T₂=2：1，则它们的轨道半径之比R₁：R₂=$\root{3}{4}$：1，向心加速度之比a₁：a₂=$\root{3}{4}$：4．

Answer 1

分析 本题的关键是根据牛顿第二定律列出卫星受到的万有引力等于需要的向心力（用角速度表示），即可求出角速度之比；根据动能公式和线速度与角速度关系即可求出两卫星的质量之比．
根据开普勒第三定律得出半径关系，然后根据人造卫星的万有引力等于向心力，列式求出向心加速度的表达式进行讨论即可．

解答 解：由$\frac{GMm}{{R}_{\;}^{2}}$=$\frac{{mv}_{\;}^{2}}{R}$=mR${ω}_{\;}^{2}$
可得ω=$\sqrt{\frac{\;\;GM}{{R}_{\;}^{3}}}$，
所以$\frac{{ω}_{A}^{\;}}{{ω}_{B}^{\;}}$=$\sqrt{\frac{{R}_{B}^{3}}{{R}_{A}^{3}}}$=2$\sqrt{2}$：1；
由${E}_{k}^{\;}$=$\frac{1}{2}{mv}_{\;}^{2}$，及v=ωR，可得：m=$\frac{{2\;E}_{k}^{\;}}{{{ω}_{\;}^{2}R}_{\;}^{2}}$，所以$\frac{{\;m}_{A}^{\;}}{{m}_{B}^{\;}}$=$（\frac{{R}_{B}^{\;}}{{R}_{A}^{\;}}）_{\;}^{2}$•$（\frac{{ω}_{B}^{\;}}{{ω}_{A}^{\;}}）_{\;}^{2}$=$\frac{1}{2}$；
根据开普勒第三定律：$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}$=K
两颗人造地球卫星的周期之比为T₁：T₂=2：1，则它们的轨道半径之比R₁：R₂=$\root{3}{4}$：1．
根据加速度a=$\frac{GM}{{R}^{2}}$得
向心加速度之比a₁：a₂=$\root{3}{4}$：4
故答案为：2$\sqrt{2}$：1；1：2；$\root{3}{4}$：1；$\root{3}{4}$：4

点评 应明确求解卫星绕地球做匀速圆周运动的思路是地球对卫星的万有引力等于卫星需要的向心力，注意灵活选取线速度和角速度表示向心力．