Question

3．长为L的杆AO用铰链固定在O点，以角速度ω围绕O点转动，在O点的正上方有一个定滑轮B，一轻绳绕过滑轮B，一端固定在杆的A端，另一端悬挂一个质量为M的重物C（如图），O、B之间的距离为h，求：
（1）当AB绳与竖直方向成θ角时，重物的运动速度是多少？
（2）此时绳上的张力是多少？

Answer 1

分析 对速度v_A作如图所示的正交分解，沿绳BA的分量就是物块M的速率，根据平行四边形定则，结合几何关系求出M的速率．

解答 解：（1）杆的端点A点绕0点作圆周运动，其速度v_A的方向与杆OA垂直，其大小为 v_A=Lω．
对速度v_A作如图所示的正交分解，沿绳BA的分量就是物块M的速率v_M，则
v_M=v_Acosφ        
由正弦定理知$\frac{sin∠OAB}{h}=\frac{sinθ}{L}$
由图看出$∠OAB=\frac{π}{2}+$φ         
由以上各式得${v}_{M}={v}_{A}•cosφ=Lω•\frac{h}{L}•sinθ$=hω•sinθ．
（2）此时M的加速度是速度的导数，即：a=v′=-hω•θcosθ
根据牛顿第二定律，则绳子的张力：T=mg+ma=mg-mhω•θcosθ
答：（1）当AB绳与竖直方向成θ角时，重物的运动速度是hω•sinθ；
（2）此时绳上的张力是mg-mhω•θcosθ．

点评 该题属于竞赛题目，解决本题的关键将A点的速度分解，知道沿绳BA的分量等于物块M的速率，而解答的难点是球物体的加速度．