Question

如图（甲）所示，质量分别为m=1kg、M=2kg的A、B两个小物块，用轻弹簧相连而静止在光滑水平面上，在A的左侧某处另有一质量也为m=1kg的小物块C，以v₀=4m/s的速度正对A向右做匀速直线运动，一旦与A接触就将黏合在一起运动（黏合时间极短）．若在C与A接触前，瞬间使A获得一初速度v_A0，并从此时刻开始计时，规定向右为正方向，A的速度随时间变化的图象如图（乙）所示（此图象仅限C与A接触前），弹簧始终未超出弹性限度，v_A0=6m/s．求：
（1）在C与A接触前，当A的速度分别为6m/s、2m/s、-2m/s时，求对应状态下B的速度，并据此在图（乙）中粗略画出B的速度随时间变化的图象（要求画出IT时间内）．
（2）当A的速度为v_A时C与A接触，在接触后的运动过程中弹簧的弹性势能为E_p，当v_A取何值时，E_p有最大值？试求出E_p的最大值．

Answer 1

分析：（1）研究A、B系统，由动量守恒定律求解B的速度
（2）当A、B、C具有相同的速度u时弹簧的弹性势能E_P最大，由动量守恒和能量守恒定律求解．

解答：解：（1）由动量守恒定律可得：
mv_A0=mv_A+Mv_B  ①
由①式可得：vB=

m

M

(vA0-vA)②
代入v_A=6m/s、2m/s、-2m/s时，得到对应的
V_B=0、2m/s、4m/s
描给的图象如答图所示
（2）无论C与A如何接触，当A、B、C具有相同的速度u时弹簧的弹性势能E_P最大．
由动量守恒定律可得：
mv₀+mv_A0=（2m+M）u ③
由③式解得：u=2.5（m/s）
设C与A碰撞前后A的瞬时速度分别为v_A、v，碰撞过程中损失的机械能为△E，
由动量守恒和能量守恒定律可得：
mv₀+mv_A=2mv ④
△E=

1

2

mv02+

1

2

mvA2-

1

2

×2mv2⑤
由④⑤式可得：△E=

1

4

m(v0-vA)2⑥
设弹簧的最大弹性势能为E_P，由能量守恒可得

1

2

mv02+

1

2

mvA_2=

1

2

×(2m+M)u2+△E+Ep⑦
由⑦式可得：Ep=

1

2

mv02+

1

2

mvA_2-

1

2

×(2m+M)u2-

1

4

×m(v0-vA)2⑧
由⑧式得：当v_A=v₀时C与A接触而黏在一起，此时不损失机械能，△E=0，
E_P有最大值E_Pmax，将数据代入⑧式可得：
E_Pmax=13.5（J） 
答：（1）对应状态下B的速度分别是0、2m/s、4m/s，
（2）当v_A取4m/s时，E_p有最大值，E_p的最大值是13.5（J）．

点评：对于这类弹簧问题注意用动态思想认真分析物体的运动过程，注意过程中的功能转化关系；解答时注意动量守恒和能量守恒列式分析求解．