Question

如图，在一个平面直角坐标系内，原点O处有一质点，质量为m．为使质点到达坐标为（d，d）的点P，现给质点施以大小为F的恒力，在起初的时间t₁内该力方向为x轴正方向，之后的时间t₂内该力变为y轴正方向，经过这两段运动质点刚好到达P点．试求：
（1）比值t₁：t₂；
（2）质点到达P点时的速度．

Answer 1

分析：质点先在x轴方向上做匀加速直线运动，然后做类平抛运动，在x方向上做匀速直线运动，在y方向上做匀加速直线运动，抓住x方向上的位移之和等于d，y方向上的位移等于d，运用运动学公式求出运动时间的比值．根据运动学公式求出质点运动到P点在x方向和y方向上的分速度大小，根据平行四边形定则求出质点到达P点的速度．

解答：解：（1）物体运动时的加速度a=

F

m

  （1）
在t₁时间内x方向做匀变速直线运动，位移
x1=

1

2

at12       （2）
t₁时间末速度v₁=at₁     （3）
t₂时间内x方向为匀速直线运动，位移x₂=v₁t₂=at₁t₂    （4）
y方向上做匀变速直线运动，位移y2=

1

2

at22      （5）
y方向上末速度v₂=at₂     （6）
物体最终到达P点，有：
x₁+x₂=d       （7）
y₂=d            （8）
根据（2）（4）（5）（7）（8）解得

t1

t2

=

2

-1．（9）
（2）根据（1）（5）（8）可解得
t2=

2dm F

  （10）
由（9）（10）可得
t1=(

2

-1)

2dm F

   （11）
由（1）（3）（11）可解得质点在x方向上的末速度
v1=(

2

-1)

2dF m

   （12）
由（1）（6）（10）可得质点在y方向上的末速度为
v2=

2dF m

．    （13）
则v=

v12+v22

=

2(4-2 2 )dF m

答：（1）比值t₁：t₂=

2

-1．
（2）质点到达P点时的速度为

2(4-2 2 )dF m

．

点评：解决本题的关键理清质点在整个过程中的运动过程，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．