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2. 已知函数对于,都有
(1)求证:是奇函数; (2)若,用表示.
例4:(07全国二卷)已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)设,如果过点可作曲线的三条切线,证明:
解:(1)的导数.曲线在点处的切线方程为:,即.
(2)如果有一条切线过点,则存在,使.
若过点可作曲线的三条切线,则方程有三个相异的实数根.记,则.
当变化时,变化情况如下表:
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0 |
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0 |
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0 |
|
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增函数 |
极大值 |
减函数 |
极小值 |
增函数 |
由的单调性,当极大值或极小值时,方程最多有一个实数根;
当时,解方程得,即方程只有两个相异的实数根;
当时,解方程得,即方程只有两个相异的实数根.
综上,如果过可作曲线三条切线,即有三个相异的实数根,则即 .
例5:(07山东理)设函数,其中.
(Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性;
(Ⅱ)求函数的极值点;
(Ⅲ)证明对任意的正整数,不等式都成立.
解(I) 函数的定义域为.
,
令,则在上递增,在上递减,
.当时,,
在上恒成立.
即当时,函数在定义域上单调递增。
(II)分以下几种情形讨论:(1)由(I)知当时函数无极值点.
(2)当时,,时,
时,时,函数在上无极值点。
(3)当时,解得两个不同解,.
当时,,,
此时在上有唯一的极小值点.
当时,
在都大于0 ,在上小于0 ,
此时有一个极大值点和一个极小值点.
综上可知,时,在上有唯一的极小值点;
时,有一个极大值点和一个极小值点;
时,函数在上无极值点。
(III) 当时,
令则在上恒正,
在上单调递增,当时,恒有.
即当时,有,
对任意正整数,取得
单元练习
参考答案
1.C 2. C 3.C 4.D 5.C 6.B 7.C 8.A 9. 6 10.
11. ; 12. 4 13. 14. ①④⑤
15. 解:由.
∵,∴.
当,即无实根,由,
即,解得;
当时,由根与系数的关系:;
当时,由根与系数的关系:;
当时,由根与系数的关系:;
综上所得.
16. 解法一: (Ⅰ)由图象可知,在(-∞,1)上,在(1,2)上,在上, 故在,上递增,在(1,2)上递减,因此在处取得极大值,所以.
(Ⅱ)由 得解得
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)设
又所以
由,即得, 所以.
17. 解:(1) 当时,,
则
∴ 当时, ,
则,
∴
综上所述, 对于, 都有,∴ 函数是偶函数。
(2)当时,
设, 则.
当时, ;
当时, ,
∴ 函数在上是减函数, 函数在上是增函数。
(3)由(2)知, 当时, ,
又由(1)知, 函数是偶函数, ∴ 当时, ,
∴若, , 则 , ,
∴, 即.
18.解:(1)因为,所以时,,
即. 当时,;
(2)由,
当时,,因为,
所以,即;
所以即为所求.
评析:本题应用常规解法,解答较为繁琐;若用导数的几何意义,则十分简单。
19. 解:(1)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有=0.99,解得x=19.
由得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y满足方程:
解得y=4,故z=4+3.即两种方案的用水量分别为19与4+3.
因为当,故方案乙的用水量较少.
(2)设初次与第二次清洗的用水量分别为与,类似(I)得
,(*)
于是+
当为定值时,,
当且仅当时等号成立.此时
将代入(*)式得
故时总用水量最少, 此时第一次与第二次用水量分别为
, 最少总用水量是.
当,故T()是增函数(也可以用二次函数的单
调性判断).这说明,随着的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量.
20. 解:(Ⅰ),依题意有,故.
从而.
的定义域为,当时,;
当时,;当时,.
从而,分别在区间单调增加,在区间单调减少.
(Ⅱ)的定义域为,.
方程的判别式.
(ⅰ)若,即,在的定义域内,故的极值.
(ⅱ)若,则或.
若,,.
当时,,当时,,所以无极值.
若,,,也无极值.
(ⅲ)若,即或,则有两个不同的实根,.
当时,,从而有的定义域内没有零点,故无极值.
当时,,,在的定义域内有两个不同的零点,由根值判别方法知在取得极值.
综上,存在极值时,的取值范围为.
的极值之和为
.