18、正方形ABCD的边AB在直线y=x+4上，C、D两点在抛物线y2=x上， 则正方形ABCD的面积为_________. 解析：设C、D所在直线方程为y=x+b,代入y2=x,利用弦长公式可求出|CD|的长， 利用|CD|的长等于两平行直线y=x+4与y=x+b间的距离，求出b的值， 再代入求出|CD|的长. 答案：18或50

19、A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使 ∠OPA=,则椭圆离心率的范围是_________. 解析：设椭圆方程为=1(a＞b＞0),以OA为直径的圆：x2－ax+y2=0,两式联立消y得x2－ax+b2=0.即e2x2－ax+b2=0,该方程有一解x2,一解为a, 由韦达定理x2=－a,0＜x2＜a，即0＜－a＜a＜e＜1.答案：＜e＜1

20、已知抛物线y=x2－1上一定点B(－1，0)和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时， BP⊥PQ，则Q点的横坐标的取值范围是_________. 解析：设P(t,t2－1)，Q(s,s2－1)∵BP⊥PQ,∴=－1,即t2+(s－1)t－s+1=0∵t∈R,∴必须有Δ=(s－1)2+4(s－1)≥0.即s2+2s－3≥0,解得s≤－3或s≥1.

21、设f(x)=ax2+bx+c，若f(1)=，问是否存在a、b、c∈R，使得不等式： x2+≤f(x)≤2x2+2x+对一切实数x都成立，证明你的结论. 解：由f(1)=得a+b+c=，令x2+=2x2+2x+x=－1，由f(x)≤2x2+2x+推得 f(－1)≤.由f(x)≥x2+推得f(－1)≥，∴f(－1)=，∴a－b+c=， 故2(a+c)=5，a+c=且b=1，∴f(x)=ax2+x+(－a).依题意：ax2+x+(－a)≥x2+ 对一切x∈R成立，∴a≠1且Δ=1－4(a－1)(2－a)≤0，得(2a－3)2≤0， ∴f(x)=x2+x+1易验证：x2+x+1≤2x2+2x+对x∈R都成立. ∴存在实数a=，b=1，c=1，使得不等式：x2+≤f(x)≤2x2+2x+对一切x∈R都成立.

22、已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程. 解：设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为=1(y≠0)

24、已知抛物线y2=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|≤2p. (1)求a的取值范围. (2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值. 解：(1)设直线l的方程为：y=x－a,代入抛物线方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0 ∴|AB|=≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2 又∵p＞0,∴a≤－. (2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点 C(x,y), 由(1)知，y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p, 则有x==p. ∴线段AB的垂直平分线的方程为y－p=－(x－a－p),从而N点坐标为(a+2p,0) 点N到AB的距离为 从而S△NAB= 当a有最大值－时，S有最大值为p2.

25、已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都以点A(，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A1与A点关于直线y=x对称. (1)求双曲线C的方程. (2)设直线l过点A，斜率为k,当0＜k＜1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为，试求k的值及此时B点的坐标. 解：(1)设双曲线的渐近线为y=kx,由d==1,解得k=±1. 即渐近线为y=±x,又点A关于y=x对称点的坐标为(0，). ∴a==b,所求双曲线C的方程为x2－y2=2. (2)设直线l：y=k(x－)(0＜k＜1,依题意B点在平行的直线l′上， 且l与l′间的距离为. 设直线l′：y=kx+m,应有,化简得m2+2km=2.　　　　　　　　 ② 把l′代入双曲线方程得(k2－1)x2+2mkx+m2－2=0, 由Δ=4m2k2－4(k2－1)(m2－2)=0.可得m2+2k2=2　　　　　　　　　　　　　　　　 ③ ②、③两式相减得k=m,代入③得m2=,解设m=,k=,此时x=,y=.故B(2,).