13、中心在原点，焦点在坐标为(0，±5)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为(　　 ) 解析：由题意，可设椭圆方程为：　=1,且a2=50+b2, 即方程为=1. 将直线3x－y－2=0代入，整理成关于x的二次方程. 由x1+x2=1可求得b2=25,a2=75.答案：C

14、抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k≠0)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则恒有(　　 ) A.x3=x1+x2 　B.x1x2=x1x3+x2x3　 C.x1+x2+x3=0 D.x1x2+x2x3+x3x1=0 解析：解方程组,得ax2－kx－b=0,可知x1+x2=,x1x2=－,x3=－, 代入验证即可.答案：B

15、已知A、B、C三点在曲线y=上，其横坐标依次为1，m,4(1＜m＜4)，当△ABC的面积最大时，m等于(　　 ) A.3　　　　　　 B.　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　 D. 解析：由题意知A(1，1)，B(m,),C(4,2).直线AC所在方程为x－3y+2=0, 点B到该直线的距离为d=. ∵m∈(1,4),∴当时，S△ABC有最大值，此时m=.答案：B

16、直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2－4y2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_________. 解析：所求椭圆的焦点为F1(－1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|.欲使2a最小，只需 在直线l上找一点P.使|PF1|+|PF2|最小，利用对称性可解.答案：　=1

17、双曲线=1(b∈N)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点， |OP|＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_________. 解析：设F1(－c,0)、F2(c,0)、P(x,y),则|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)＜2(52+c2), 即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2,又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1|.|PF2|, 依双曲线定义，有|PF1|－|PF2|=4,依已知条件有|PF1|.|PF2|=|F1F2|2=4c2 ∴16+8c2＜50+2c2,∴c2＜,又∵c2=4+b2＜,∴b2＜,∴b2=1.答案：1

19、A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使 ∠OPA=,则椭圆离心率的范围是_________. 解析：设椭圆方程为=1(a＞b＞0),以OA为直径的圆：x2－ax+y2=0,两式联立消y得x2－ax+b2=0.即e2x2－ax+b2=0,该方程有一解x2,一解为a, 由韦达定理x2=－a,0＜x2＜a，即0＜－a＜a＜e＜1.答案：＜e＜1

20、已知抛物线y=x2－1上一定点B(－1，0)和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时， BP⊥PQ，则Q点的横坐标的取值范围是_________. 解析：设P(t,t2－1)，Q(s,s2－1)∵BP⊥PQ,∴=－1,即t2+(s－1)t－s+1=0∵t∈R,∴必须有Δ=(s－1)2+4(s－1)≥0.即s2+2s－3≥0,解得s≤－3或s≥1.

21、设f(x)=ax2+bx+c，若f(1)=，问是否存在a、b、c∈R，使得不等式： x2+≤f(x)≤2x2+2x+对一切实数x都成立，证明你的结论. 解：由f(1)=得a+b+c=，令x2+=2x2+2x+x=－1，由f(x)≤2x2+2x+推得 f(－1)≤.由f(x)≥x2+推得f(－1)≥，∴f(－1)=，∴a－b+c=， 故2(a+c)=5，a+c=且b=1，∴f(x)=ax2+x+(－a).依题意：ax2+x+(－a)≥x2+ 对一切x∈R成立，∴a≠1且Δ=1－4(a－1)(2－a)≤0，得(2a－3)2≤0， ∴f(x)=x2+x+1易验证：x2+x+1≤2x2+2x+对x∈R都成立. ∴存在实数a=，b=1，c=1，使得不等式：x2+≤f(x)≤2x2+2x+对一切x∈R都成立.

22、已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程. 解：设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为=1(y≠0)

23、已知圆C1的方程为(x－2)2+(y－1)2=,椭圆C2的方程为=1(a＞b＞0)，C2的离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程. 解：由e=,可设椭圆方程为=1,又设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=2, 又=1,两式相减，得=0, 即(x1+x2)(x1－x2)+2(y1+y2)(y1－y2)=0.化简得=－1, 故直线AB的方程为y=－x+3,代入椭圆方程得3x2－12x+18－2b2=0. 有Δ=24b2－72＞0,又|AB|=, 得，解得b2=8.故所求椭圆方程为=1.