7．定义在R上的函数f(x)，如果存在函数g (x)=kx+b（k，b为常数），使得f(x)≥g(x)对一切

   实数x都成立，则称g(x)为函数f(x)的一个承托函数。现有如下命题：

       ① 对给定的函数f(x)，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；

       ② g(x)=2x为f(x)=2^x的一个承托函数；

       ③ 定义域和值域都是R的函数f(x)不存在承托函数。

       其中正确命题的序号是                                                                                    （    ）

       A．①                      B．②                       C．①③                  D．②③

8．如图在棱长为a的正方体ABCD―A₁B₁C₁D₁中，

   P为A₁D₁的中点，Q为A₁B₁上任意一点，E、F

   为CD上任意两点，且EF的长为定值b，则下列

   四个值中不为定值的是                              （    ）

       A．点到平面的距离

       B．二面角的大小

       C．直线与平面所成的角

       D．三棱锥的体积

9．设P为曲线C：y=x²+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为

   ，则点P横坐标的取值范围为                                                               （    ）

       A．                                            B．[-1，0]

       C．[0，1]                                               D．

10．平面、、两两互相垂直，点A∈，点A到、的距离都是3，P是上的

       动点，P到的距离是到点A距离的2倍，则点P的轨迹上的点到的距离的最小值

                                                                                                                              （    ）

       A．                                             B．

       C．                                             D．

11．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²-9n，则其通项a_n=           。

12．已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率是，则该双曲线两渐近线夹

       角是              。

13．设函数f(x)的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f^―1(x)，f(4)=0，则f^―1(4)=     。

14．若，则实数m满足条件

                                          。

15．给出下列命题

       ① 非零向量、满足||=||=|-|，则与+的夹角为30°；

       ② ?＞0是、的夹角为锐角的充要条件；

       ③ 将函数y=|x-1|的图象按向量=（-1，0）平移，得到的图像对应的函数为y=|x|；

       ④若（）?（）=0，则△ABC为等腰三角形

       以上命题正确的是                   。（注：把你认为正确的命题的序号都填上）

    写在答题卡相应处）

16．（本小题满分12分）

       已知向量

   （1）若，球向量的夹角；

   （2）当时，求函数的最大值。

17.（本题满分12分）.设进入健身中心的每一位健身者选择甲种健身项目的概率是，选择乙种健身项目的概率是，且选择甲种与选择乙种健身项目相互独立，各位健身者之间选择健身项目是相互独立的。

（Ⅰ）求进入该健身中心的1位健身者选择甲、乙两种项目中的一项的概率；

（Ⅱ）求进入该健身中心的4位健身者中，至少有2位既未选择甲种又未选择乙种健身项目的概率。

18．（本小题满分12分）

       已知函数

   （1）若函数f(x)的图像上点P（1，m）处的切线方程为3x-y+b=0，求m的值。

   （2）若函数f(x)在（1，2）内是增函数，求a的取值范围。

19．（本小题满分12分）

       已知直四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA₁，F为棱BB₁

              的中点，M为线段AC₁的中点。

   （1）求证：直线MF∥平面ABCD；

   （2）求证：平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁；

   （3）求平面AFC₁与与平面ABCD所成二面角的大小。

20．（本小题满分13分）

       已知A（-2，0）、B（2，0），点C、点D满足

   （1）求点D的轨迹方程；

   （2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆与M、N两点，线段MN的中点到y轴的

        距离为，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程。

21．（本小题满分14分）

       已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n与2的等差中项，数列{b_n}中，b₁=1，

       点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上。

   （1）求a₁和a₂的值；

   （2）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n；

   （3）设c_n=a_n?b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n。

参 考 答 案20090320

1．C   2．A   3．D   4．D   5．D   6．B   7．A   8．C   9．D   10．A

11．2n-10      12．     13．-2     14．     15．①③④

16．解：（1）当时，

       ∴                                                                      ??????????????6分

   （2）

       =

       ∵，     ∴

       故，

       ∴当                          ????????????????12分

17．.解：（Ⅰ）记A表示事件：进入该健身中心的1位健身者选择的是甲种项目，B表示事件：进入该健身中心的1位健身者选择的是乙种项目，则事件A与事件B相互独立，P（A）＝，P（B）＝。???－1分

故进入该健身中心的1位健身者选择甲、乙两种项目中的一项的概率为：P＝＝P（A）＋＝。-??4分

（Ⅱ）记C表示事件：进入该健身中心的1位健身者既未选择甲种又未选择乙种健身项目，D表示事件：进入该健身中心的4位健身者中，至少有2位既未选择甲种又未选择乙种健身项目，A₂表示事件：进入该健身中心的4位健身者中恰有2位既未选择甲种又未选择乙种健身项目，A₃表示事件：进入该健身中心的4位健身者中恰有3位既未选择甲种又未选择乙种健身项目，A₄表示事件：进入该健身中心的4位健身者中恰有4位既未选择甲种又未选择乙种健身项目，???5分

则P（C）＝，???7分

，???8分

，???9分

???10分

。???12分

18．解：（1）∵

       ∴                                                       ?????????????????2分

       则过点P（1，m）的切线斜率为             ?????????????????3分

       又∵切线方程为3x-y+b=0

       ∴-1-4a=3，即a=-1                                                                                       ??????????????????4分

       ∴                                                     ??????????????????5分

       又∵P（1，m）在f(x)的图像上，∴                         ??????????????????6分

   （2）∵函数f(x)在（1，2）内是增函数                                   ??????????????????7分

       ∴0对一切x∈（1，2）恒成立

       即                             ?????????????????9分

                  ?????????????????11分

       ∴

19．解法一：

   （1）延长C₁F交CB的延长线于点N，连接AN。因为F是BB₁的中点，

       所以F为C₁N的中点，B为CN的中点。????2分

       又M是线段AC₁的中点，故MF∥AN。?????3分

       又MF平面ABCD，AN平面ABCD。

       ∴MF∥平面ABCD。                              ???5分

   （2）证明：连BD，由直四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁

       可知A₁A⊥平面ABCD，

       又∵BD平面ABCD， ∴A₁A⊥BD。

       ∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD。

       又∵AC∩A₁A=A，AC，AA平面ACC₁A₁。

       ∴BD⊥平面ACC₁A₁。                                                           ?????????????????7分

       在四边形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四边形DANB为平行四边形

       故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC₁A₁，又因为NA平面AFC₁

       ∴平面AFC₁⊥ACC₁A₁

   （3）由（2）知BD⊥ACC₁A₁，又AC₁ACC₁A₁，

       ∴BD⊥AC₁，∴BD∥NA，∴AC₁⊥NA。

       又由BD⊥AC可知NA⊥AC，

       ∴∠C₁AC就是平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的平面角或补角。           ???10分

       在Rt△C₁AC中，tan，                                                     ???12分

       故∠C₁AC=30°

       ∴平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的大小为30°或150°。                    ???12分

       解法二：

       设AC∩BD=0，因为M、O分别为C₁A、CA的中点，所以，MO∥C₁C，

       又由直四棱柱知C₁C⊥平面ABCD，所以MO⊥平面ABCD。

       在棱形ABCD中，BD⊥AC，所以，OB、OC、OM两两垂直。

       故可以O为原点，OB、OC、OM所在直线分别为x轴、y轴、z轴如图建立空间直角坐

       标系

       若设|OB|=1，则B（1，0，0），B₁（1，0，2），

       A（0，，0），C（0，，0），C₁（0，，2）。                             ???3分

   （1）由F、M分别为B₁B、C₁A的中点可知：F（1，0，1），

       M（0，0，1），所以（1，0，0）=

       又不共线，所以，MF∥OB。

       ∵MF平面ABCD，OB平面ABCD，

       ∴MF∥平面ABCD。                              ???6分

   （2）（1，0，0）为平面的法ACC₁A₁的法向量。

    设为平面AFC₁的一个法向量

       则

       由得

       令y=1，得z=，此时                                                           ???9分

       由于，所以，平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁。     ???10分

   （3）为平面ABCD的法向量，设平面AFC₁与平面ABCD所成的二面角

       的大小为，

       则

       所以=30°或150°。

       即平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的大小为30°或150°。                    ???11分

20．解：

   （1）设C、D点的坐标分别为C(x₀，y₀)，D(x，y)，则=(x₀+2，y₀)，=(4，0)

       则(x₀+6，y₀)，故                  ???2分

       又                              ???4分

       代入得x²+y²=1，即为所求点D的轨迹方程        ???6分

   （2）易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k(x+2)     ①

       又设椭圆方程为                               ②

       因为直线l与圆x+y=1相切，故，解得k=

       将①代入②整理得，

       而k=即

       设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，则x₁+x₂=

       由题意有求的a=8，经检验，此时△＞0.

       故所求的椭圆方程为                                                                  ???13分

21．解：

   （1）∵a_n是S_n与2的等差中项

       ∴S_n=2a_n-2             ∴a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2

       a₁+a₂=S₂=2a₂-2，解得a₂=4                                                                          ???3分

   （2）∵S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，

       又S_n―S_n-1=a_n，

       ∴a_n=2a_n-2a_n-1，

       ∵a_n≠0，

       ∴，即数列{a_n}是等比树立∵a₁=2，∴a_n=2ⁿ

       ∵点P(b_n，b_n+1)在直线x-y+2=0上，∴b_n-b_n+1+2=0，

       ∴b_n+1-b_n=2，即数列{b_n}是等差数列，又b₁=1，∴b_n=2n-1，                            ???8分

   （3）∵c_n=(2n-1)2ⁿ

       ∴T_n=a₁b₁+ a₂b₂+????a_nb_n=1×2+3×2²+5×2³+????+(2n-1)2ⁿ，

       ∴2T_n=1×2²+3×2³+????+(2n-3)2ⁿ+(2n-1)2ⁿ⁺¹

       因此：-T_n=1×2+(2×2²+2×2³+???+2×2ⁿ)-(2n-1)2ⁿ⁺¹，

       即：-T_n=1×2+(2³+2⁴+????+2ⁿ⁺¹)-(2n-1)2ⁿ⁺¹，

       ∴T_n=(2n-3)2ⁿ⁺¹+6                                                                                          ??14分