9.若，则等于      . 

10.若直线与直线平行，则m的值为      .

11. 若展开式中的所有二项式系数和为512，则      ；该展开式中的常数项为      .     

12．已知向量．若向量，则实数的值是      ；

13．过抛物线的焦点的直线，交抛物线于两点，交其准线于 点，若，则直线的斜率为           .

14.对任意的正整数、，定义同时满足下列条件：

①；②若，；③，

则的值是       ；的表达式为         （用含的代数式表示）.  

得分

评卷人

15．（本小题满分13分）

已知函数．

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）求函数的单调增区间．

得分

评卷人

16． （本小题满分13分）

在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现在可供选用的不同添加剂有6种，其中芳香度为1的添加剂1种，芳香度为2的添加剂2种，芳香度为3的添加剂3种．根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．

（Ⅰ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为3的概率；

（Ⅱ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为偶数的概率.

得分

评卷人

17． （本小题满分13分）

如图，直三棱柱的侧棱，底面三角形中，，，是的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的大小.

得分

评卷人

18．（本小题满分14分）

已知函数．

（Ⅰ）若在处取得极值，求实数的值；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）求函数在闭区间的最小值.

得分

评卷人

19．（本小题满分13分）

已知的三边长成等差数列，若点的坐标分别为．

（Ⅰ）求顶点的轨迹的方程；

（Ⅱ）线段的延长线交顶点C的轨迹于点，当     

且点在轴上方时，求线段垂直平  

分线的方程．

得分

评卷人

20．（本小题满分14分）

已知数列的前项和为，且，其中．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足，为的前项和，求证：

．

北京市朝阳区高三统一练习㈠

              数学文科答案            2009.4

一、选择题:

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

B

D

A

C

A

A

A

9. ;           10. 1和-2;            11. 9,  ;         12. ；

13． ;     14. 6, 

15． 解: （Ⅰ）

，

所以函数的最小正周期为2． ……………………………………8分 

（Ⅱ）令 ，得 .

故函数的单调增区间为． …………13分

16． 解：（Ⅰ）设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为3”为事件A，则

答：所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为3的概率是………5分

（Ⅱ）设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为偶数”为事件B，

两种添加剂的芳香度之和为偶数有三种可能：芳香度为1和3，芳香度为2和2，芳香度为3和3，其中芳香度为1和3的概率为

芳香度为2和2的概率为

芳香度为3和3的概率为  

所以

答：所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为偶数的概率是……13分

17． 解法一：

（Ⅰ）证明：因为，

是的中点，所以.

由已知，三棱柱是直三棱柱，

所以平面平面.

所以平面.

又因为平面,

所以.…………6分

（Ⅱ）解：由（1）知平面.

过作，垂足为,连结.

由三垂线定理可知，

所以是二面角的平面角.

由已知可求得，,   所以.

所以二面角的大小为.

由于二面角与二面角的大小互补，

所以二面角的大小为.…………………………13分

解法二：

以的中点为原点，先证明平面，建立空间直角坐标系（如图）.由已知可得

、、、、、.

（Ⅰ）证明：，.

因为，所以  

.…………6分

（Ⅱ）解：.

设平面的一个法向量为            

，

由  得  

解得  所以.

又知，平面，所以为平面的法向量.

因为 ,

所以

由图可知，二面角大于90º，

所以二面角的大小为.…………………………13分

 18． 解：（Ⅰ） ，

因为在处取得极值，所以，解得．………………2分

（Ⅱ），

 （1）当时，，则在上为增函数；

（2）当，即时，由 得或，所以的单调增区间为和;由得，所以的单调减区间为；

（3）当即时，由得或，所以的单调增区间为和；由，得，所以的   单调减区间为.

综上所述，当时，的单调增区间为；

当时，的单调增区间为和，的单调减区间为;   当时，的单调增区间为和，的单调减区间为.

……………………………………………………8分

（Ⅲ）（1）当即时，由（Ⅱ）可知，在上单调递增，

所以的最小值为；

（2）当，即时，由（Ⅱ）可知，在上单调递减，在

上单调递增，所以的最小值为；

（3）当即时，由（Ⅱ）可知，在上单调递减，所以的最小值为.

综上所述，当时，的最小值为；时，的最小值为；时，的最小值为.   ………………14分

19．解：（Ⅰ）因为成等差数列，点的坐标分别为

所以，且，

由椭圆的定义可知点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的         

 椭圆（去掉长轴的端点），

所以．

故顶点的轨迹方程为．…………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得.因为，，

所以.则.

所以直线的斜率为.

于是直线方程为.

由得．设两点坐标分别为

则，．

线段中点的坐标为,

故垂直平分线的方程为，即为.……13分

  20. 解：（Ⅰ）已知式即，故．

由条件知，所以．

由于，且，故．

于是 ，，

所以 ．   ……………………………………………………5分

（Ⅱ）由，得，

故．

从而 ．

因此

．

设，

则，

故，

注意到，所以．

特别地，从而．

所以．           …………………………………14分