1．复数的共轭复数所对应的点位于复平面的

   A．第一象限       B．第二象限     C．第三象限       D．第四象限

2 在等比数列中，若，则的值为

   A．9      B．1       C．2         D．3

3．设或，或，则是的

   A．充分不必要条件   B．必要不充分条件  C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

4．要得到的图象，只需将的图象

   A．向左平移个单位        B．向左平移个单位

   C．向右平移个单位        D．向右平移个单位

5．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图的侧视图是腰长为4的两个全

   等的等腰直角三角形。若该几何体的体积为

   A．32         B．16          C．        D．

6．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是

   A．360       B．180       C．90         D．45

7．设，函数的导函数是，且是奇函数，若曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为

   A．       B．       C．        D．

8．函数的图象大致是

9．已知则的最小值是

   A．2        B．      C．4         D．

10．要从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外兴趣小组学习，则按分层随即抽样组成此课外兴趣小组的概率为

A．     B．      C．      D．

11．若点为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，分别是它们的左右焦点，设椭圆心离率，双曲线离心率为，若，则

   A．1        B．2       C．3         D．4

12．已知是所在平面内一点，且满足，则点

   A．在边的高所在的直线上        B．在平分线所在的直线上

   C．在边的中线所在的直线上      D．是的外心

第Ⅱ卷（共90分）

注意事项：

    第Ⅱ卷共2页。考生必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题纸上各题目的指定答题区域内

作答，填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。在试卷上作

答无效。

13．设集合，，则=_________

14．已知某算法的流程图如图所示，若将输出的值依次记为

、若程序运行中输出的一个数

组是，则_________。

15．在三棱锥中，侧棱两两垂直，

    的面积分别为则三棱锥的外接球的体积

    为________________。

16．当对数函数的图象至少经过区域

    内的一个点时，实数的取值范围为______________________。

17．（本小题满分12分）

已知的周长为，且。

（I）求边的长；       （Ⅱ）若的面积为求角的度数。

18．（本小题满分12分）

袋子和中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是，从中摸

出一个红球的概率是

（1）若两个袋中球数之比为1：2，将两袋中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是求的值

（2）从中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止。

①求恰好摸5次停止的概率；②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为，求随机变量的分布列及数学期望。

19．在数列中，已知

（1）记求证：数列是等差数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）对于任意给定的正整数，是否存在，使得若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

20．如图：四棱锥的底面是提醒，腰，平分且与垂直，侧面都垂直于底面，平面与底面成60°角

（1）求证：；

（2）求二面角的大小

21．已知椭圆的上、下焦点分别为，点为坐标平面的动点，满足

（1）求动点的轨迹的方方程；

（2）过点作曲线的两条切线，切点分别为，求直线的方程；

（3）在直线上是否存在点，过该点的坐标：若不存在。试说明理由

22．已知函数   （注：）

（1）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；

（2）当时，若直线与函数的图象在上有两个不同交点，求实数的取值范围：

（3）求证：对大于1的任意正整数

山东省实验中学高三2006级第三次诊断性测试

                数学试题答案（理科）       （2009，3）

 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，

第I卷1至2页，第Ⅱ卷3

至4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将答题纸和答题卡一并交回。

第I卷（选择题60分）

注意事项：

12．A

第Ⅱ卷（共90分）

注意事项：

    第Ⅱ卷共2页。考生必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题纸上各题目的指定答题区域内

作答，填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，在试卷上作

答无效。

13．       14．81         15．   16．

17．（本小题满分12）

已知的周长为，且

（I）求边的长；  （Ⅱ）若的面积为，求角的度数。

解（I）由题意及正弦定理，得

两式相减，得

（Ⅱ）由的面积，

由余弦定理，有，

所以

18．（本小题满分12分）

袋子和中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是，从中摸出一个红球的概率是，若两个袋中球数之比1：2，将两袋中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是

（1）求的值

（2）从 中有放回地摸求，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止。

①求恰好摸5次停止的概率；②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为 ，求随机变量

的分布列及数学期望。

解：（1）设 袋中球的个数为 ，则 袋中球的个数为

因为从 中摸出一个红球的概率是 ，从 中摸出一个红球的概率是

所以 袋中红球的个数为 ， 袋中红球的个数为 ，记“将两袋中的球装在一起后，从中摸出一个红求“为事件C，则 ，

所以

（2）①记“恰好摸5次停止”为事件 ，事件 ，事件 发生，意味着第五次恰好摸到红球，且前四次

中有两次摸到红球，故②随机变量 的所有取值为0，1，2，3。  

所以  随机变量的分布列为：

0

1

2

3

所以随机变量的数学期望为

19．（本小题满分12分）在数列中，已知

（1）记，求证：数列是等差数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）对于任意给定的正整数，是否存在，使得若存在，求出的值：若不存在，请说明理由，

解：（1）因为  所以

    所以

    因为    所以

所以   数列是以为首项，以2为公差的等差数列；

（2）由（1）可得：   即 

     因为      所以

（3）假设对于任意给定的正整数，存在使得，则

       可解得 

因为   任意给定的正整数，  必为非负偶数。

所以  

所以  存在使得

20．（本小题满分12分）如图：四棱锥的底面是梯形，腰平分且与垂直，侧面都垂直于底面，平面与底面成60°角

（1）求证：        （2）求二面角的大小。

（1）证明：因为  侧面都垂直于底面，

           所以  面

           所以  又因为

           所以   面

          所以

（2）解：因为  在等腰梯形中，对角与互补

         又因为平分且与垂直，

          所以

          所以

         过点作，垂足为点， 连结

         则便是平面与底面所成二面角的平面角

即，   在中，  求得：

所以在中，求得：

如图建立空间直角坐标系，则

所以

设平面的法向量为=（）

则   所以；

设平面的法向量为，

则  所以

所以   二面角的大小为

依题意可得，对恒成立，

所以   对恒成立，

所以   对恒成立，，即

（2）当时，若，，单调递减；

若单调递增；

故在处取得极小值，即最小值

又

所以要使直线与函数的图象在上有两个不同交点，

实数的取值范围应为，即；

（3）当时，由可知，在上为增函数，

当时，令，则，故，

即所以。

故

相加可得

又因为

所以对大于1的任意正整书

21．（本小题满分12分）已知椭圆的上、下焦点分别为，点为坐标平面内的动点，满足

      （1）求动点的轨迹的方程；

      （2）过点作曲线的两条切线，切点分别为，求直线的方程：

      （3）在直线上否存在点，过该点作曲线的两条切线，切点分别为，使得，若存在，求出该点的坐标；若不存在，试说明理由。

解：（1）因为为椭圆的上、下焦点，所以设。

所以 

因为  

所以，整理可得

所以所求动点的轨迹的方程为

（2）（法一）设过点所作曲线的切线的斜率为，则切线方程为

由 可得：

，所以或

过点所作曲线的切线方程为和

由和可分别解得：和

所以直线的方程的方程为：

（法二）设过点所作曲线的两切线的切点为，

   则   记  则，

则两条切线的方程为

即

和

即：

因为两条切线均经过点，所以且

所以  直线的方程的方程为：

（3）若存在，不妨设其坐标为，过点所作曲线的切线斜率为，

则切线方程为，即

由可得：

因为直线和抛物线相切，所以

设两条切线的斜率分别为，则

因为   所以

所以  两条切线垂直  所以所以

所以   在直线上是存在点满足题意。

22．（本小题满分14分）已知函数

（1）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；

（2）当时，若直线与函数的图象在上有两个不同的交点，求实数的取值范围：

（3）当时，求证对大于1的任意正整数

解：（1）因为     所以