甘肃省天水一中2009届高三第一学期期末考试数学试题（理）
命题：王开祥 校对：王亚平 审核：高玲玲
考生注意：
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.
第I卷
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么P（A?B）=P(A)?P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
Pn(k)=C
Pk(1－P)n－k
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合
，则
= （
）
A．[－1，0] B．[0, 
） C．
D．
2．下列函数中周期为2的是 （ ）
A．y = 2
B．y = sin2
x + cos2x
C．y = tan (
) D．y = sin xcos x
3．函数
的图像大致形状是 （ ）
4．已知等比数列
的公比
，其前
项和为
，则
的值为 （
）
A．0 B．
C．1 D．2
5．函数
图象的一条对称轴方程是 （ ）
A．
B．
C．
D．
6. 若命题P: 
，命题Q: 
,则P是Q的
（
）
A．充分非必要条件 B.必要非充分条件
C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
7．设m、n是不同的直线，
是不同的平面，有以下四个命题
①
②
③
④
其中为真命题的是 （ ）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
8．若
，且
，则下列不等式中恒成立的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
9、数列的通项公式为
= 
,若前n项和为10, 则项数为： （ ）
A.11
B
10．将圆
平移后，恰好与直线
相切，则实数b的值为 （ ）
A．
B．－ C.
D．－
11.如图，正四棱柱
中，
，
则异面直线
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．如果椭圆
上存在一点P，使点P到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的范围是 ( )
A 
B 
C 
D 
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知
，且
，∠AOB=60°，则
=__
与
的夹角为___
14．实数
的最大值为___
15．三角形
的值为_____.
16．设
函数
有最大值, 则不等式
的
解集为_______．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本大题共10分）设函数
成立的x的取值范围.
18.（本小题满分12分）已知角
为
的三个内角，其对边分别为
，若向量
，
，
，且
．
（1）若的面积
，求bc的值．
（2）求
的取值范围．
19、（本小题满分12分）某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且各次射击的结果互不影响。
（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；
（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；
20．（本题满分12分） 已知函数
.
（Ⅰ）求函数
的单调区间及其极值;
（Ⅱ）证明：对一切
，都有
成立.
21．（本小题满分12分）数列的各项均为正数，
为其前项和，对于任意
，总有
．
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ) 设正数数列
满足
.求数列中的最大项；
(Ⅲ) 求证：
．
22．（本小题满分12分）已知直线
与抛物线
相切于点P（2，1），且与
轴交于点A，定点B的坐标为（2，0）。
（I）若动点M满足
，求点M的轨迹C；
（II）若过点B的直线
（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求
与
面积之比的取值范围。
天水一中2006级2008――2009学年第一学期期末考试题
一、BCBBA BCDCB DB
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13
14 ..4 15. 
16. （2，3）
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. （本大题共10分）
解：由于y=2x是增函数，
等价于
. ①………………………………… 2分
(i) 当x≥1时，|x+1|－|(x－1)|=2.…………………………………… 5分
∴①式恒成立.
(ii) 当－1<x<1时，|x+1|－|x－1|=2x，
①式化为
即
………………………………… 8分
(iii)当x≤－1时，|x+1|－|x－1|=－2,
①式无解.
综上， x取值范围是
.……………………………… 10分
18. （本小题满分12分）
．解：（1）
，
，且
.
，即
，又
，
……..2分
又由
，
5分
（2）由正弦定理得：
，
7分
又
，
…………9分
，则
.则
，
即
的取值范围是
…………………
12分
19.（本小题满分12分）
（1）解：设“射手射击1次，击中目标”为事件A
则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率
=
7分
（2）解：射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率
12分
20. (本小题满分12分)
（Ⅰ）解：
，令
，得
.
2分
0
增
极大值
减
由上图表知：
的单调递增区间为，单调递减区间为.
的极大值为
.
5分
（Ⅱ）证明：对一切
，都有
成立
则有
由（Ⅰ）知，的最大值为
，
并且
成立，
8分
当且仅当
时成立，
函数
的最小值大于等于函数
的最大值，
但等号不能同时成立.
所以，对一切，都有成立. 12分
21．（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：由已知：对于
，总有
①成立
∴
（n ≥ 2）②
①--②得
∴
∵
均为正数，∴
（n ≥ 2）
∴数列
是公差为1的等差数列
又n=1时，
， 解得
=1
∴
.(
)
……………4分
（Ⅱ）(解法一)由已知 
，
易得 
猜想 n≥2 时，
是递减数列.
令
∵当
∴在
内
为单调递减函数.
由
.
∴n≥2 时, 
是递减数列.即是递减数列.
又
, ∴数列中的最大项为
. …………… 6分
(解法二) 猜测数列中的最大项为.
易直接验证;
以下用数学归纳法证明n≥3 时, 
(1)当
时, 
, 所以时不等式成立;
(2)假设
时不等式成立,即
,即
,
当
时, 
,
所以
,即时不等式成立.
由(1)(2)知对一切不小于3的正整数都成立.
…………… 8分
(Ⅲ)(解法一)当
时,可证: 
…………… 10分
…………… 12分
(解法二) 
时, 
……8分
…………… 12分
注:也可分段估计,转化为等比数列求和(也可加强命题,使用数学归纳法)
22．（本小题满分12分）
解：（I）由
故
的方程为
点A的坐标为（1，0）
2分
设
由
整理
4分
动点M的轨迹C为以原点为中心，焦点在x轴上，
长轴长为
，短轴长为2的椭圆。
5分
（II）如图，由题意知
的斜率存在且不为零，
设方程为
①
将①代入，整理，得
7分
设
、
，
则
②
令
由此可得
由②知
，
即
10分
解得
又
面积之比的取值范围是
12分
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