安徽省安庆一中2009年高三第二学期高考模拟试卷（四）
数学（理科）
（时间：120分钟 满分：150分 ）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1.若集合
,
,那么
---------------( ▲ )
A.
B.
C.
D.
2.复数
----------------------------------------------------（ ▲ ）
A. 
B.
C.
D. 
3.在等比数列
中，已知
，那么
---------------------（ ▲ ）
A．4 B．
4．在△ABC中，
，则k的值是------------（ ▲ ）
A．5 B．－
D．
5．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. 设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为
，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可分析出x和y分别为-------------------------（ ▲ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，程序框图所进行的求和运算是----------------（ ▲ ）
A． + + + … +
B．1 + + + … +
C． 1 + + + … +
D． + + + … +
7．已知
∈(
,
)，sin=
,则
等于（ ▲ ）
A． 
B． 
C． 
D．
8．设抛物线
的焦点为F，经过点P(2,1)的直线
与抛物线相交于A、B两点且点P恰为AB的中点，则|AF|+|BF|=--------------------------------------------（ ▲ ）
A．10
B．
9.设
为互不重合的平面，
为互不重合的直线，给出下列四个命题：
①若
,则
；
②若
，则
；
③若
，则
；
④ 若
则
.
其中所有正确命题的序号是----------------------------------------------（ ▲ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．③④
10．若直线
与圆
交于
两点,且关于直线
对称,动点P
在不等式组
表示的平面区域内部及边界上运动，
则
的取值范围是----------------------------------------------（ ▲ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：（本大题共有5个小题，每小题4分，共计20分）
11. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积
等于_______▲__________.
12．
展开式中，常数项是_____▲_________.
13. 
______▲__ .
14. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加社区服务，
如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为
_ _▲_______ .
15.在圆中有结论:如图,“AB是圆O的直径,直线AC,BD是圆O过 A,B的切线,P是圆O上任意一点,CD是过P的切线,则有
”. 类比到椭圆：“AB是椭圆的长轴, O是椭圆的中心，
是椭圆的的焦点，直线AC,BD是椭圆过A,B的切线,P是椭圆上任意一点,CD是过P的切线,则有
▲
.”
三、解答题（本大题共有6个小题，共计80分）
16．( 本题满分13分)
函数
的图像上一个最高点的坐标为
，与之相邻的一个最低点的坐标为
.
（1）求
的表达式；
(2) 当
,求函数的单调递增区间和零点.
17．( 本题满分13分)
如图，五面体
中，
．底面
是正三角形，
.四边形
是矩形，二面角
为直二面角.
（1）
在
上运动，当在何处时，有
平面
,并且说明理由；
（2）当平面时，求二面角
的余弦值.
18．( 本题满分13分)
2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、
迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：
福娃名称
贝贝
晶晶
欢欢
迎迎
妮妮
数量
1
1
1
2
3
从中随机地选取5只.
（1）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；
（2）若完整地选取奥运会吉祥物记10分；若选出的5只中仅差一种记8分；差两种记6分；以此类推. 设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列及数学期望.
19．( 本题满分13分)
已知双曲线
的两个焦点为F1，F2，P为动点，若
=4.
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）求
的最小值；
（3）设点M（-2，0），过点N（
，0）作直线交轨迹E于A、B两点，判断
的大小是否为定值？并证明你的结论.
20．（本题满分14分）
已知函数
, 
（1）求函数的定义域；
（2）求函数的单调区间；
（3）当
>0时，若存在x使得
成立，求的取值范围.
21．（本题满分14分，共3小题，任选其中2题作答，每小题7分）
(1) 选修4－2：矩阵与变换
设矩阵
，求矩阵
的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．其中
=
，
=
(2) 选修4－5：不等式选讲
已知函数
．
（1）作出函数
的图像；（2）解不等式
(3) 选修4－4：坐标系与参数方程
求极坐标系中，圆
上的点到直线
的距离的最小值．
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
A
A
A
A
B
B
A
D
二、填空题
11. 8 + ； 12. 60； 13.
； 14. 14； 15. 
.
三、解答题
16. 解：（1）依题意的
,所以
,于是
……………2分
由
解得
……………4分
把
代入
,可得
,所以
,
所以
,因为
,所以
综上所述，
…………7分
（2）令
，得
，又
故
函数
的零点是
……………10分
由
得
函数的单调递增区间是
……………13分
17. 解：（1）当
为
中点时,有
平面
………2分
证明:连结
交
于
,连结
∵四边形
是矩形 ∴为中点
又为中点,从而
……………………………4分
∵
平面,
平面∴平面……………6分
（2）建立空间直角坐标系
如图所示,则
,
,
,
,
……7分
所以
,
. ……………………………8分
设
为平面的法向量,则有
,即
令
,可得平面的一个法向量为
,
而平面
的一个法向量为
……………11分
所以
所以二面角
的余弦值为
……………13分
18. 解:
19．解：
（1）依题意双曲线方程可化为
则
=4
点P的轨迹是以
为焦点的椭圆，其方程可设为
由
得
则所求椭圆方程为
，
故动点P的轨迹E的方程为；………………3分
（2）设
,
则由
，可知
在
中
又
即
当且仅当
时等号成立．故
的最小值为
………………6分
（3）当
与
轴重合时，构不成角AMB，不合题意．
当
轴时，直线的方程为
，代入
解得
、
的坐标分别为
、
而
，∴
，猜测为定值．………8分
证明：设直线的方程为
，由
，得
∴
，
………10分
∴
∴ 为定值。(AB与点M不重合) ……13分
20．解：
（1）当
时,由
得
；当
时由
得
综上：当时函数的定义域为
；
当时函数的定义域为
………3分
（2）
………5分
令
时，得
即
，
①当
时，
时
，当
时，
，
故当 时，函数的递增区间为
，递减区间为
②当
时，
，所以，
故当时，在
上单调递增．
③当
时，若
，;若
，，
故当时，的单调递增区间为
;单调递减区间为
．
综上：当时，的单调递增区间为;单调递减区间为
当时，的单调递增区间为
;
当时，的单调递增区间为;单调递减区间为; …10分
（Ⅲ）因为当时，函数的递增区间为;单调递减区间为
若存在使得
成立，只须
，
即
………14分
21．（本题满分14分，共3小题，任选其中2题作答，每小题7分）
(1)选修4－2：矩阵与变换
解：由 M=
N=
可得
的特征多项式为
令
得矩阵的特征值为
再分别求得对应于特征值
的特征向量
…………7分
(2) 选修4－5：不等式选讲
（1）解：依题意可知
，
则函数
的图像如图所示：
（2）由函数的图像容易求得原不等式的解集为
…………7分
(3) 选修4－4：坐标系与参数方程
解：由
即
则易得
由
易得
圆心
到直线的距离为
又圆的半径为2 , 圆上的点到直线的距离的最小值为
…………7分
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