(A)24         (B)14            (C)13             (D)11.5

2006年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

文科数学（必修+选修Ⅰ）

第Ⅱ卷（共90分）

注意事项：

1.       用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2.       答卷前将密封线内的项目填写清楚。

（13）某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是　　　　　.

（14）设为等差数列的前n项和，＝14，－＝30，则＝　　　　.

（15）已知抛物线，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(两点，则y的最小值是

（16）如图，在正三棱柱ABC-中，所有棱长均为1，则点B到平面ABC的距离为　　　　.

（17）（本小题满分12分）

设函数f(x)=

(Ⅰ)求f(x)的单调区间；

(Ⅱ) 讨论f(x)的极值.
（18）（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝A且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）.

(Ⅰ)求；

(Ⅱ)计算f(1)+f(2)+…+f(2008).

（19）（本小题满分12分）

盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意任取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：

(Ⅰ)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；

(Ⅱ)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概念；

(Ⅲ)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率.

(20) （本小题满分12分）

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2,PO=,PB⊥PD.

(Ⅰ)求异面直接PD与BC所成角的余弦值；

(Ⅱ)求二面角P－AB－C的大小；

(Ⅲ)设点M在棱PC上，且为何值时，PC⊥平面BMD.

（21）（本小题满分12分）

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)直线过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程.

（22）（本小题满分14分）

已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3….

(Ⅰ)令

(Ⅱ)求数列

(Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由。

答案

2006年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

文科数学答案

  1、D    2、C    3、A    4、D    5、B   6、B   7、C    8、C    9、A

  10、D     11、A     12、B

  13、150     14、54    15、32   16、

（1）       定义集合运算：A⊙B=?z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B?,设集合A＝ ｛0,1｝,B＝ ｛2,3｝,则集合A⊙B的所有元素之和为（D）

 (A) 0         (B)6            (C)12             (D)18

解：当x＝0时，z＝0，当x＝1，y＝2时，z＝6，当x＝1，y＝3时，z＝12，故所有元素之和为18，选D

     (2)设（ C   ）

(A)0         　(B)1            (C)2             (D)3

解：f（f（2））＝f（1）＝2，选C

（3）函数（A    ）

(A)                  (B)               (C)                 (D)

解：函数y=1+a^x(0<a<1)的反函数为，它的图象是函数向右移动1个单位得到，选A

(4)设向量a=(1,－3),b=(－2,4),若表示向量4a、3b－2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为（D   ）

(A)（1，－1）         (B)（－1， 1）            (C) （－4，6）            (D) （4，－6）

解：4a＝（4，－12），3b－2a＝（－8，18），设向量c＝（x，y），依题意，得4a＋（3b－2a）＋c＝0，所以4－8＋x＝0，－12＋18＋y＝0，解得x＝4，y＝－6，选D

（5）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)＝－f(x)，则f(6) 的值为（ B  ）

(A) －1         (B)0            (C)1             (D)2

解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，又f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），故函数f（x）的周期为4，所以f（6）＝f（2）＝－f（0）＝0，选B

（6）在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=,a=,b=1，则c=（ B   ）

(A)1         (B)2            (C) －1             (D)

解：由正弦定理可得sinB＝，又a>b，所以A>B，故B＝30°，所以C＝90°，故c＝2，选B

（7）在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为（ C  ）

(A)         (B)2            (C)              (D)2

解：不妨设双曲线方程为（a>0，b>0），则依题意有，

据此解得e＝，选C

（8）正方体的内切球与其外接球的体积之比为（ C  ）

(A)1∶         (B)1∶3            (C)1∶3             (D)1∶9

解：设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为，它的外接球的半径为，故所求的比为1∶3，选C

（9）设p∶∶0，则p是q的（A   ）

(A)充分不必要条件 　　　　　　　        (B)必要不充分条件

(C)充要条件　　　　　　　　　　　　     (D)既不充分也不必要条件

解：p：Û－1<x<2，q：0Ûx<－2或－1<x<2，故选A

(10)已知()的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是（  D  ）

(A)－1         (B)1            (C)－45             (D)45

解：第三项的系数为，第五项的系数为，由第三项与第五项的系数之比为可得n＝10，则＝，令40－5r＝0，解得r＝8，故所求的常数项为＝45，选D

（11）已知集集合A=｛5｝，B={1，2}，C＝｛1，3，4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（ A  ）

(A)33         (B)34            (C)35             (D)36

解：不考虑限定条件确定的不同点的个数为＝36，但集合B、C中有相同元素1，由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为36－3＝33个，选A

（12）已知x和y是正整数，且满足约束条件则z＝2x＋3y的最小值是（  B  ）

(A)24         (B)14            (C)13             (D)11.5

解：画出可域：如图所示

易得

B点坐标为（6，4）且当直线z＝2x＋3y

过点B时z取最大值，此时z＝24，点

C的坐标为（3.5，1.5），过点C时取得最小值，

但x，y都是整数，最接近的整数解为（4，2），

故所求的最小值为14，选B

17．解：由已知得     ，

令，解得   .

（Ⅰ）当时，，在上单调递增

 当时，，随的变化情况如下表：

0

+

0

0

极大值

极小值

从上表可知，函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

     当时，函数没有极值.

     当时，函数在处取得极大值，在处取得极小值.

18．

解：（I）

的最大值为2，.

又其图象相邻两对称轴间的距离为2，，

.

过点，

又∵

.

（II）解法一：，

.

又的周期为4，，

解法二：

又的周期为4，，

19．

解：（I）“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A，由题意

（II）“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B，则

（III）“抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为C，“抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为D，由题意，C与D是对立事件，因为

所以       .

20．解法一：

平面，

又，

由平面几何知识得：

（Ⅰ）过做交于于，连结，则或其补角为异面直线与所成的角，

四边形是等腰梯形，

又

四边形是平行四边形。

是的中点，且

又，

为直角三角形，

在中，由余弦定理得

故异面直线PD与所成的角的余弦值为

（Ⅱ）连结，由（Ⅰ）及三垂线定理知，为二面角的平面角

，

二面角的大小为

（Ⅲ）连结，

平面平面，

又在中，

，

，

故时，平面

解法二：

 平面

又，，

由平面几何知识得：

以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为，，，，，

（Ⅰ），

       ，

。

。

故直线与所成的角的余弦值为

（Ⅱ）设平面的一个法向量为，

由于，，

由   得 

取，又已知平面ABCD的一个法向量，

又二面角为锐角，

所求二面角的大小为

（Ⅲ）设，由于三点共线，，

平面，

由（1）（2）知：

，。

故时，平面。

21．解：设椭圆方程为

（Ⅰ）由已知得

∴所求椭圆方程为       .

（Ⅱ）解法一：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为

由，消去y得关于x的方程：

由直线与椭圆相交于A、B两点，

解得

又由韦达定理得

原点到直线的距离

.

解法1：对两边平方整理得：

（*）

           ∵，

              整理得：

              又，   

              从而的最大值为，

此时代入方程（*）得 

所以，所求直线方程为：.

解法2：令，

              则

                     当且仅当即时，

                     此时.

                     所以，所求直线方程为

解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零.

              设直线l的方程为，

              则直线l与x轴的交点，

              由解法一知且，

              解法1：

                                    =

                                   .

                     下同解法一.

              解法2：

                            下同解法一.

22．解：（I）由已知得 

又

是以为首项，以为公比的等比数列.

（II）由（I）知，

将以上各式相加得：

（III）解法一：

存在，使数列是等差数列.

数列是等差数列的充要条件是、是常数

即

又

当且仅当，即时，数列为等差数列.

解法二：

存在，使数列是等差数列.

由（I）、（II）知，

又

当且仅当时，数列是等差数列.