炎德?英才大联考高三月考试卷(八)
文 科 数 学
湖南师大附中高三数学备课组组稿
命题人：彭萍 审题人：曾克平
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡对应位置．
1．若角
的终边经过点
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列函数中既是奇函数，又在
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
，且
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．若等差数列
的前5项和
，且
，则
（ ）
A．12 B．
5．已知椭圆
（
）的的短轴端点分别为
、
，左右焦点分别为
、
，长轴左端点为
，若
，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．、
为两个互相垂直的平面，
、
为一对异面直线，下列条件：①
、
；②
、
；③、
；④、且与的的距离等于与的距离，其中是
的充分条件的有（ ）
A．①④ B．① C．③ D．②③
7．设，，为整数（
），若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记作
，已知
，且
，则的值可为（ ）
A．2007 B．
8．设
，若
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在横线上．
9．设集合
，集合
，若
．
10．一个社会调查机构就某地居民的月
收入凋查了10000人，并根据所得
数据画了样本的频率分布直方图(如
右图)．为了分析居民的收入与年龄、
学历、职业等方面的关系，要从这
10 000人中再用分层抽样方法抽出
100人作进一步调查，则在
(元)月收入段应抽出 人．
11．已知三棱锥
的各顶点都在一个半径为
的球面上，球心
在AB上，
底面
，
，则三棱锥的体积与球的体积之比是
．
12．将圆
沿向量
平移，使其平移后能与直线
相切，则
=
．
13．两位大学毕业生一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，你们俩同时被招聘进来的概率是
”，根据这位负责人的话可以推断出参加面试的人数为 人．
14．在
中，若
，
，则
的值为
。
15．已知
，则点
组成的图形面积为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．(本小题满分12分)
已知
（其中
）．
（1）求函数
的值域；
（2）若的周期为
，求
的值并写出该函数在
上的单调区间．
17．(本小题满分12分)
高三年级有7名同学分别获得校科技节某项比赛的一、二、三等奖，已知获一等奖的人数不少于1人，获二等奖的人数不少于2人，获三等奖的人数不少于3人．
(1)求恰有2人获一等奖的概率；
(2)求恰有3人获三等奖的概率．
18．(本小题满分12分)
如图，在等腰梯形
中，
，
，
，为
边上一点，且
，将
沿
折起，使平面
平面
．
（1）求证：平面平面
；
（2）试在上找一点
，使截面
把几何体分成两部分，且
；
（3）在（2）的条件下，判断
是否平行于平面．
19．(本小题满分13分)
数列中，
，
（
）．
（1）求证：数列
与
（）都是等差数列；
（2）若数列的前
项和为
，设
，且数列
是等差数列，求非零常数
．
20．(本小题满分13分)
已知点
在椭圆
：
上，、分别为椭圆的左、右焦点，满足
，
．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的长轴长为6，过点
且不与
轴垂直的直线
与椭圆相交于两个不同点、
，且
（
，且
）。在轴上是否存在定点
，使得
．若存在，求出所有满足这种条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
21．(本小题满分13分)
函数
（
且
），
，
的导函数满足
，设
、
为方程
的两根。
（1）求
的取值范围；
（2）若
，且当
最小时，的极大值比极小值大
，求的解析式．
炎德?英才大联考高三月考试卷(八)
1．D 2．C 3．A 4．B 5．D 6．C 7．C 8．A
9．
10．
25 11．
12．
或
者 13．21 14．3 15．
16．解：（1）
……………………………………………(3分)
∴
值域为
…………………………………………………………………(6分)
（不同变形参照给分）
（2）因为的周期为
∴
………………………………………………………………(8分)
∴
∴在
、
上单调递增，
在
上单调递减。…………………………………………………(12分)
17．解：按一、二、三等奖的顺序，获奖人数有三种情况：
，
，
…………………………………………………………(1分)
当获奖人数为时，发奖方式有：
（种）…………………(3分)
当获奖人数为时，发奖方式有：
（种）…………………(5分)
当获奖人数为时，发奖方式有：
（种）…………………(7分)
(1)故恰有2人获一等奖的概率为
……………………(9分)
(2)故恰有3人获三等奖的概率为
……………………(11分)
答：(略)………………………………………………………………………(12分)
18．解：(1)证明：依题意知
，又∵平面
平面
，∴
平面
又
平面
，∴平面平面．……………………………(4分)
（2）解：∵
，………………………………………(6分)
设P、M到底面的距离分别为
、
，则
∴
，∴
为
中点。……………………………………………………(8分)
（3）∵
，
平面，
平面，∴
平面
…………………………………………………(10分)
若
平面，∵
，∴平面
平面
这与平面
与平面有公共点
矛盾
∴
与平面不平行……………………………………………………(12分)
(本题也可以用向量法解答)
19．解：（1）由
，得
，
两式相减，得
，……………………………………………(3分)
所以数列
，
，
，…，
，…是以
为首项，3为公差的等差数列，
即数列
为等差数列； ……………………………………………(5分)
又因为
，
，
∴
∴数列
，
，
，…，
，…是以
为首项，3为公差的等差数列，
即数列
为等差数列． ……………………………………………………(7分)
（2）
……………………………………………………(10分)
∴
，∴
，
，
∵数列
是等差数列，∴
，
∴
，
解得：
，
（舍去）．……………………………………………(13分)
20．解（1）令
，
．
由题意得：
又
，所以
，
所以
…………………………………(4分)
（2）∵
，∴
，于是
，
∴
，
∴椭圆E的方程为
…………………………………………………(5分)
从而
，
设点M、N、G的坐标依次为
、
、
，
∵
，∴
，
∴
………………………………………………………………(7分)．
又
，
且
，
∴
即得
． ………………………………………………(9分)
又
，
故得
．……………………………………………(*)(10分)
因
不垂直于
轴，设直线的方程为
，与椭圆
：联立得：
∵点
在椭圆内部，
∴直线必与椭圆有两个不同交点．
方程有两个不等实数根
，
则由根与系数的关系，得
，
，
代入（*）得
整理，得
，即
∴存在这样的定点满足题设．…………………………………………(13分)
21．解：（1）∵
，
∴
，即
。又
，
∴
即为
，
∴
∵
，∴
．
解得
，
又∵方程
，（）有两根，∴
而
恒成立，
∴
的取值范围是
．………………………………………………(6分)
（2）∵、是方程
的两根即
的两根为、
∴
，
∴
∵，∴当且仅当
，即
时，
取最小值．
即时，
最小． ………………………………………………(10分)
此时
，
，
令，得
，
，
∵
，∴、、
的变化情况如下表
ㄊ
极大 值
ㄋ
极小值
ㄊ
∴由表知：的极大值为
，极小值为
，由题知
。
解得
，此时
同步练习册答案
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