如图.△ABC中.∠ACB=90°.AC=BC.点E是AC上一点.连接BE．(1)如图1.若AB= .BE=5.求AE的长,(2)如图2.点D是线段BE答案解析

问题情境：

如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离.

探究：

请您结合图2给予证明，

归纳：

圆外一点到圆上各点的最短距离是：这点到连接这点与圆心连线与圆交点之间的距离.

图中有圆，直接运用：

如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是　      　．

图中无圆，构造运用：

如图4，在边长为2的菱形中，∠=60°，是边的中点，是边上一动点，将△沿所在的直线翻折得到△，连接,请求出长度的最小

值.

	图4

解：由折叠知，又M是AD的中点，可得，故点在以AD为直径的圆上.如图8，以点M为圆心，MA为半径画⊙M，过M作MH⊥CD，垂足为H，（请继续完成下列解题过程）

迁移拓展，深化运用：

如图6，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是　     　．

问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．

探究：

请您结合图2给予证明，

归纳：

圆外一点到圆上各点的最短距离是：这点到连接这点与圆心连线与圆交点之间的距离．

图中有圆，直接运用：

如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 ．

图中无圆，构造运用：

如图4，在边长为2的菱形中，∠=60°，是边的中点，是边上一动点，将△沿所在的直线翻折得到△，连接,请求出长度的最小

值．

【解析】
由折叠知，又M是AD的中点，可得，故点在以AD为直径的圆上．如图8，以点M为圆心，MA为半径画⊙M，过M作MH⊥CD，垂足为H，（请继续完成下列解题过程）

迁移拓展，深化运用：

如图6，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ．

（2015秋•涞水县期末）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于点D，点E是AB边上一动点（不含端点A、B），连接CE，过点B作CE的垂线交直线CE于点F，交直线CD于点G（如图①）．

（1）求证：AE=CG；

（2）若点E运动到线段BD上时（如图②），试猜想AE、CG的数量关系是否发生变化，请直接写出你的结论；

（3）过点A作AH垂直于直线CE，垂足为点H，并交CD的延长线于点M（如图③），找出图中与BE相等的线段，并证明．

（2015秋•涞水县期末）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于点D，点E是AB边上一动点（不含端点A、B），连接CE，过点B作CE的垂线交直线CE于点F，交直线CD于点G（如图①）．

（1）求证：AE=CG；

（2）若点E运动到线段BD上时（如图②），试猜想AE、CG的数量关系是否发生变化，请直接写出你的结论；

（3）过点A作AH垂直于直线CE，垂足为点H，并交CD的延长线于点M（如图③），找出图中与BE相等的线段，并证明．