在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别为A₁B和CC₁的中点．求：

（Ⅰ）直线MN和BC所成角的正切值；
（Ⅱ）直线A₁B和平面ABCD所成角的大小；
（Ⅲ）点N到直线AB的距离．

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱AB和BC的中点，EF与BD交于点G．
（1）求二面角B₁-EF-B的正切值；
（2）M为棱BB₁上的一点，当

B1M

MB

的值为多少时能使D₁M⊥平面EFB₁？试给出证明．

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱AB和BC的中点，G为上底面A₁B₁C₁D₁的中心．
（I）求AD与BG所成角的余弦值；
（II）求二面角B-FB₁-E的大小；
（III）求点D到平面B₁EF的距离．

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是C₁B₁的中点，若E，F都是AB上的点，且|EF|=

a

2

，Q是A₁B₁上的点，则四面体EFPQ的体积是．