中的x1.x2.不等式成立.求a的取值范围. 得分评卷人【查看更多】

已知函数f（x）=lnx-

1

2

ax²+bx（a＞0），且f′（1）=0
（1）试用含有a的式子表示b，并求f（x）的单调区间；
（2）设函数f（x）的最大值为g（a），试证明不等式：g（a）＞ln（1+

a

2

）-1
（3）首先阅读材料：对于函数图象上的任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），如果在函数图象上存在点M（x₀，y₀）（x₀∈（x₁，x₂）），使得f（x）在点M处的切线l∥AB，则称AB存在“相依切线”特别地，当x₀=

x1+x2

2

时，则称AB存在“中值相依切线”．请问在函数f（x）的图象上是否存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得AB存在“中值相依切线”？若存在，求出一组A、B的坐标；若不存在，说明理由．

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已知函数f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe^1-x．
（1）求函数g（x）在区间（0，e]上的值域T；
（2）是否存在实数a，对任意给定的集合T中的元素t，在区间[1，e]上总存在两个不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=t成立、若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3 ）函数f（x）图象上是否存在两点A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），使得割线AB的斜率恰好等于函数f（x）在AB中点M（x₀，y₀）处切线的斜率？请写出判断过程．

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已知函数f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe^1-x．
（1）求函数g（x）在区间（0，e]上的值域T；
（2）是否存在实数a，对任意给定的集合T中的元素t，在区间[1，e]上总存在两个不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=t成立、若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3 ）函数f（x）图象上是否存在两点A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），使得割线AB的斜率恰好等于函数f（x）在AB中点M（x₀，y₀）处切线的斜率？请写出判断过程．

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若数列{a_n}满足a_n+2+pa_n+1+qa_n=0（其中p²+q²≠0，且p、q为常数）对任意n∈N^*都成立，则我们把数列{a_n}称为“L型数列”．
（1）试问等差数列{a_n}、等比数列{b_n}（公比为r）是否为L型数列？若是，写出对应p、q的值；若不是，说明理由．
（2）已知L型数列{a_n}满足a_n+1+pa_n+qa_n-1=0（n≥2，n∈N^*，p²-4q＞0，q≠0），x₁、x₂是方程x²+px+q=0的两根，若b-ax_i≠0（i=1，2），求证：数列{a_n+1-x_ia_n}（i=1，2，n∈N^*）是等比数列（只选其中之一加以证明即可）．
（3）请你提出一个关于L型数列的问题，并加以解决．（本小题将根据所提问题的普适性给予不同的分值，最高10分）

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已知函数f(x)=mx³+nx²(m、n∈R ,m≠0)的图像在（2，f(2)）处的切线与x轴平行.

（1）求n,m的关系式并求f(x)的单调减区间；

（2）证明：对任意实数0<x₁<x₂<1, 关于x的方程：

在（x₁,x₂）恒有实数解

（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f(x)是在闭区间[a,b]上连续不断的函数，且在区间(a,b)内导数都存在，则在(a,b)内至少存在一点x₀，使得.如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件.试用拉格朗日中值定理证明：

当0<a<b时，（可不用证明函数的连续性和可导性）

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一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）B （2）D （3）C （4）B

（5）D （6）D （7）A （8）C

二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）(1，-1) （10）｛y| y>1｝， y = 2^x^-¹ （x>1）（11），

（12）（13） 2 （14）R， R

三.解答题（本大题共6小题，共80分）

15. 解（Ⅰ）恰有一名男生的概率为. ……………………………3分

（Ⅱ）至少有一名男生的概率为. …………………………8分

（Ⅲ）至多有一名男生的概率为. …………………………13分

16. 解：（Ⅰ）. ……………………………3分

又，cosC=>0，

故在中，、是锐角. ∴，.

∴. ……………………7分

（Ⅱ） . ……………………10分

由正弦定理 . 解得，c=6.

∴. ∴，即AC=5 . ……………………13分

17. 解：（I）依条件得， …………………2分

解得. …………………………………………4分

所以a_n=3+(n-1)=n+2. …………………………………………6分

（II）P_n=， b₆=2×2^6-1=64，

由>64得n²+5n-128>0. ………………………………9分

所以n(n+5)>128.因为n是正整数，且n=9时，n(n+5)=126，

所以当n≥10时，n(n+5)>128. 即n≥10时，P_n> b₆. ……………………………13分

18. （Ⅰ）解：∵正三棱柱中AC∥A₁C₁，

∴∠CAD是异面直线AD与A₁C₁所成的角. …………………………………2分

连结CD，易知AD=CD=a，AC= a，在△ACD中易求出cos∠CAD=.

因此异面直线AD与A₁C₁所成的角的余弦值为. …………………………4分

（Ⅱ）解：设AC中点为G，连结GB，GD，

∵△ABC是等边三角形， ∴GB⊥AC.

又DB⊥面ABC， ∴GD⊥AC.

∴∠DGB是所求二面角的平面角. …………………6分

依条件可求出GB=a.

∴tan∠DGB==.

∴∠DGB=arctan. ……………………………………………8分

（Ⅲ）证明：

∵D是B₁B的中点，∴△C₁B₁D≌△ABD. ∴AD= C₁D. 于是△ADC₁是等腰三角形.

∵E是AC₁的中点， ∴DE⊥AC₁. ………………………………………………10分

∵G是AC的中点，∴EG∥C₁C∥DB，EG=C₁C= DB.

∴四边形EGBD是平行四边形. ∴ED∥GB.

∵G是AC的中点，且AB=BC，∴GB⊥AC. ∴ED⊥AC.

∵AC∩AC₁=A，

∴ED⊥平面ACC₁A₁. …………………………………………13分

（或证ED∥GB，GB⊥平面ACC₁A₁得到ED⊥平面ACC₁A₁.）

19. 解：（Ⅰ）∵，

∴. ……………………………………3分

令得，=0.

，

∴方程有两个不同的实根、.

令，由可知：

当时，；

当；

∴是极大值点，是极小值点. ……………………………………7分

（Ⅱ），

所以得不等式.

即. ………10分

又由（Ⅰ）知，

代入前面的不等式，两边除以（1+a），

并化简得，解之得：，或（舍去）.

所以当时，不等式成立. …………………………14分

20. 解：(Ⅰ)∵

∴. ………………………………………………2分

又椭圆C经过点B(0，-1)，解得b²=1.

所以a²=2+1=3. 故椭圆C的方程为. ……………………………4分

（Ⅱ）设l的方程为:y= kx+m，M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，

.

则x₁+x₂= -. ………………6分

Δ=36k²m²-12(m²-1)(1+3k²)=12[3k²-m²+1]＞0 ①

设线段MN的中点G(x₀，y₀)，　

x₀=，

线段MN的垂直平分线的方程为：y -.…………………8分

∵|， ∴线段MN的垂直平分线过B（0，-1）点.

∴-1-. ∴m=. ②

②代入①，得3k²-(. ③

∵|的夹角为60°，∴△BMN为等边三角形.

∴点B到直线MN的距离d=. ……………………………10分

∵,

又∵|MN|=

=

=,

∴. ……………………………12分

解得k²=，满足③式. 代入②，得m=.

直线l的方程为：y=. ……………………………14分

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