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    由椭圆定义.得.∴. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    定义：我们把椭圆的焦距与长轴的长度之比即，叫做椭圆的离心率.若两个椭圆的离心率相同，称这两个椭圆相似.
    （1）判断椭圆与椭圆是否相似？并说明理由；
    （2）若椭圆与椭圆相似，求的值；
    （3）设动直线与（2）中的椭圆交于两点，试探究：在椭圆上是否存在异于的定点，使得直线的斜率之积为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.

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    已知椭圆C:的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.

    (1)求椭圆C的方程；

    (2)设直线与椭圆C交于A、B两点，以弦为直径的圆过坐标原点，试探讨点到直线的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由.

    已知函数．

    （1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；

    （2）若函数在处取得极值，对,恒成立，

    求实数的取值范围；

    （3）当时，求证：．

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    已知椭圆C：的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比．已知椭圆C1以抛物线的焦点为一个焦点，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4．（1）若椭圆C2与椭圆C1相似，且相似比为2，求椭圆C2的方程．
    （2）已知点P（m，n）（mn≠0）是椭圆C1上的任一点，若点Q是直线y=nx与抛物线异于原点的交点，证明点Q一定落在双曲线4x2-4y2=1上．
    （3）已知直线l：y=x+1，与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆为Cb，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直线l上，B，D在曲线Cb上，若存在求出函数f（b）=SABCD的解析式及定义域，若不存在，请说明理由．

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    我们常用定义解决与圆锥曲线有关的问题．如“设椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1作倾斜角为θ的弦AB，设|F1A|=r1，|F1B|=r2，试证
    1
    r1
    +
    1
    r2
    为定值”．
    证明如下：不妨设A在x轴的上方，在△ABC中，由椭圆的定义及余弦定理得，（2a-r1）2=r12+4c2-4cr1cosθ，∴r1=
    b2
    a-ccosθ
    ，
    同理r2=
    b2
    a-ccos(π-θ)
    =
    b2
    a+ccosθ
    ，于是
    1
    r
    1    +
    1
    r
    2    =
    2a
    b2
    ．请用类似的方法探索：设双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1作倾斜角为θ的直线与双曲线右支交于点A，左支交于点B，设|F1A|=r1，|F1B|=r2，是否有类似的结论成立，请写出与定值有关的结论是______．．

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    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比．已知椭圆C1
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    以抛物线y2=4
    		3
    x    的焦点为一个焦点，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4．（1）若椭圆C2与椭圆C1相似，且相似比为2，求椭圆C2的方程．
    （2）已知点P（m，n）（mn≠0）是椭圆C1上的任一点，若点Q是直线y=nx与抛物线x2=
    1
    mn
    y    异于原点的交点，证明点Q一定落在双曲线4x2-4y2=1上．
    （3）已知直线l：y=x+1，与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆为Cb，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直线l上，B，D在曲线Cb上，若存在求出函数f（b）=SABCD的解析式及定义域，若不存在，请说明理由．

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    1. 构造向量，，所以，.由数量积的性质，得，即的最大值为2.

    2. ∵，令得，所以，当时，，当时，，所以当时，.

    3.∵，∴，，又，∴，则，所以周期.作出在上的图象知：若，满足条件的（）存在，且，关于直线对称，，关于直线对称，∴；若，满足条件的（）存在，且，关于直线对称，，关于直线对称，

    ∴. 

    4. 不等式（）表示的区域是如图所示的菱形的内部，

    ∵，

    当，点到点的距离最大，此时的最大值为；

    当，点到点的距离最大，此时的最大值为3.

    5. 由于已有两人分别抽到5和14两张卡片，则另外两人只需从剩下的18张卡片中抽取，共有种情况.抽到5 和14的两人在同一组，有两种情况:

    (1) 5 和14 为较小两数，则另两人需从15～20这6张中各抽1张,有种情况；

    (2) 5 和14 为较大两数，则另两人需从1～4这4张中各抽1张,有种情况.

    于是，抽到5 和14 两张卡片的两人在同一组的概率为.

    6. ∵，∴，

    设，，则.

    作出该不等式组表示的平面区域（图中的阴影部分）.

    令，则，它表示斜率为的一组平行直线，易知，当它经过点时，取得最小值.

    解方程组，得，∴


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