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甲、乙两人参加奥运知识竞赛，假设甲、乙两人答对每题的概率分别为，且答对一题得1分，答不对得0分．
（I）甲、乙两人各答一题，求两人得分之和ξ的分布列及数学期望；
（II）甲、乙两人各答两题，每人每答一题记为一次，求这四次答题中至少有一次答对的概率．

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对某班级50名同学一年来参加社会实践的次数进行的调查统计，得到如下频率分布表：

参加次数	0	1	2	3
人数	0.1	0．2	0.4	0.3

根据上表信息解答以下问题：
(1)从该班级任选两名同学，用η表示这两人参加社会实践次数之和，记“函数在区间，内有零点”的事件为，求发生的概率；
(2)从该班级任选两名同学，用ξ表示这两人参加社会实践次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ

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一、选择题（每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

C

A

B

B

C

C

D

D

D

A

A

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．         14.       15. 1            16.

三、简答题

17．解：依题记“甲答对一题”为事件A ；“乙答对一题”为事件B

2分

则

∴ξ的分布列：

ξ

0

1

2

P

                                                          8分

∴                              10分

18．解：当时，原式                              3分

当时，有                             

∴原式=                           7分

当时，

∴原式                                                   11分

综上所述：                              12分

19．解：设切点（），                                              3分

∵切线与直线平行

∴          或                        10分

∴切点坐标（1，－8）（－1，－12）

∴切线方程：或

即：或                                               12分

21．解：设底面一边长为，则另一边长

∴高为                                    3分

由：            ∴

∵体积

                                       6分

令得或（舍去）

∵只有一个极值点

∴，此时高1.2m，最大容积为         11分

答：高为1.2m 时体积最大，最大值为1.8              12分

22．解：假设存在

当时，由即：

∴

当时，   ∴

猜想：

证明：1. 当时，已证

         2. 假设时结论成立

即为时结论也成立

由（1）（2）可知，对大于1的自然数n，存在，使成立                                                             12分