题目列表(包括答案和解析)
（12分）圆、椭圆、双曲线都有对称中心，统称为有心圆锥曲线，它们统一的标准方程为
.圆的很多优美性质可以类比推广到有心圆锥曲线中,如圆的“垂径定理”的逆定理:圆的平分弦（不是直径）的直径垂直于弦. 类比推广到有心圆锥曲线：已知直线
与曲线
：交于
两点，
的中点为
，若直线和
(
为坐标原点)的斜率都存在，则
.这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”.
（Ⅰ）证明有心圆锥曲线的“垂径定理”；
（Ⅱ）利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题：
① 过点
作直线与椭圆
交于两点，求的中点的轨迹
的方程；
② 过点
作直线
与有心圆锥曲线
交于
两点，是否存在这样的直线使点为线段
的中点？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由.
设
，常数
，定义运算“
”：
，定义运算“
”：
；对于两点
、
，定义
．
(Ⅰ)若
≥0，求动点P( ,
) 的轨迹
；
(Ⅱ)已知直线
与(Ⅰ)中轨迹交于、两点，若
，试求
的值；
(Ⅲ) 在(Ⅱ)中条件下，若直线
不过原点且与
轴交于点S，与轴交于点T，并且与(Ⅰ)中轨迹C交于不同两点P、Q , 试求
的取值范围．
设
、
∈R，常数
，定义运算“
”：
，定义运算“
”：
；对于两点
、
，定义
．
(Ⅰ)若
≥0，求动点P( ,
) 的轨迹
；
（Ⅱ）已知直线
与(Ⅰ)中轨迹交于、两点，若
，试求
的值；
(Ⅲ) 在(Ⅱ)中条件下，若直线
不过原点且与
轴交于点S，与轴交于点T，并且与(Ⅰ)中轨迹C交于不同的两点P、Q , 试求
的取值范围．
=0的距离为3.(1)求椭圆的方程.
(2)是否存在斜率为k(k≠0)的直线l,使l与已知曲线交于不同两点M、N,且有|AM|=|AN|?若存在,求k的范围;若不存在,请说明理由.
过圆锥曲线焦点的直线与此圆锥曲线交于P1、P2两点，以P1P2为直径的圆与此焦点对应的准线相切，则此圆锥曲线是（ ）
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.不确定
评分说明：
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1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。学科网
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。学科网
3．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。学科网
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。学科网
一、选择题（每小题5分，本题满分共60分）学科网
题号
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
答案
D
C
C
B
D
C
A
B
B
C
D
A
二、填空题（每小题5分，本题满分共20分）学科网
（13）
．
（14）1． （15）
．
（16）4．学科网
三、解答题（本大题共6小题，共70分）学科网
（17）（本小题满分10分）学科网
证明：
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……4分学科网
……6分学科网
、
均为正数，
……8分学科网
. ……10分学科网
（18）（本小题满分12分）学科网
解：设点
是曲线上任意一点，点
属于集合
，
……2分学科网
由两点间的距离公式得
……4分学科网
整理，得
，
……8分学科网
配方，得
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所求的曲线的轨迹方程为 ……10分学科网
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它表示以
为圆心，半径等于2的圆 ……12分学科网
（19）（本小题满分12分）学科网
解：（I）由已知可设椭圆的方程为
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由条件知
解得
……4分学科网
……5分学科网
椭圆的标准方程方程为
……6分学科网
（Ⅱ）
点P在椭圆上 
； ……8分学科网
又
，解得
， ……10分学科网
在△
中，
，
的余弦值为
……12分
（20）（本小题满分12分）
解：设公司在广西电视台和桂林电视台做广告时间分别为
分钟和
分钟，
总收益为
元 …………1分
由题意得
…………4分
目标函数为
． …………6分
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域． …………8分
如图：作直线
，即
平移直线
，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值．
联立
解得
点的坐标为（100，200）． …………10分
（元） …………11分
答：该公司在广西电视台做100分钟广告，在桂林电视台做200分钟广告，公司的收益最
大，最大收益是70万元． …………12分
（21）（本小题满分12分）
解：（1）原不等式可化为
等价于
，即
， …………3分
由题设
是方程
的解，
，得
． …………4分
原不等式等价于
或
，
． …………6分
（2）由
，得原不等式为
…………8分
．
当
时，原不等式的解集为
； …………10分
当
时，原不等式的解集为
…………12分
（22）（本小题满分12分）
解：（I）设P的坐标为
，
由
得
…………2分
…………4分
化简得
，
点在焦点在轴上的双曲线上，其方程为 ………6分
（Ⅱ）设
、
点的坐标分别为
、
，
由
得
， …………7分
， …………8分
与双曲线交于两点，△
，即
，
解得
． …………9分
若以AB为直径的圆过
，则
，
，
即
…………10分
，
解得
…………11分
即
，
故满足题意的
值存在，且值为
…………12分
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