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    (III)求证:． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    函数f（x）=xlnx-ax2-x（a∈R）．
    （I）若函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
    （II）若函数f（x）的图象在直线y=-x图象的下方，求a的取值范围；
    （III）求证：20132012＜20122013．

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    （2013•成都一模）在数列{an}中，a1=2，a2=4，且当n≥2时，a
     
    2
    n
    =an-1an+1    ，n∈N*．
    （I）求数列{an}的通项公式an；
    （II）若bn=（2n-1）an，求数列{bn}的前n项和Sn；
    （III）求证：
    1
    a1
    +
    1
    2a2
    +
    1
    3a3
    +…+
    1
    nan
    ＜
    3
    4
    ．

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    （2013•宁德模拟）已知函数f1（x）=
    1
    2
    x2，f2（x）=alnx（a∈R）•
    （I）当a＞0时，求函数．f（x）=f1（x）•f2（x）的极值；
    （II）若存在x0∈[1，e]，使得f1（x0）+f2（x0）≤（a+1）x0成立，求实数a的取值范围；
    （III）求证：当x＞0时，lnx+
    3
    4x2
    -
    1
    ex
    ＞0．
    （说明：e为自然对数的底数，e=2.71828…）

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    已知正方体ABCD-A1B1C1D1．
    （I）求CD1与平面ADD1A1所成角；
    （II）求证：CD1∥平面A1BD；
    （III）求证：平面ACC1A1⊥平面A1BD．

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    已知数列{an}中，a1=2，an+1=2an-
    n+2
    n(n+1)
    ．
    （I）求证数列{an-
    1
    n
    }    成等比数列，并求数列{an}的通项公式；
    （II）若bn=nan，求数列{bn}的前n项和Sn；
    （III）求证：
    1
    a1-1
    +
    1
    a2-1
    +…+
    1
    an-1
    ＜3    ．

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    一、

    20080506

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    选项

    A

    D

    C

    A

    A

    C

    B

    B

    C

    D

    C

    B

    二、填空题：

    13．－1    14．5   15．    16．③④      

    三、解答题：

    17.解:(Ⅰ) =……1分

    =……2分

    ∵   ……3分

     

    ……4分

    ∵  .……6分

    (Ⅱ)在中，， ，

    ……7分

    由正弦定理知：……8分

    =.    ……10分

    18．解：（Ⅰ）选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率

    6ec8aac122bd4f6e                                     ………………4分

    （Ⅱ）6ec8aac122bd4f6e                              …………………5分            6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e                                      …………9分

    ξ的分布列为：

    ξ

    10

    8

    6

    4

    P

    3/28

    31/56

    9/28

    1/56

    6ec8aac122bd4f6e                                …………12分

    19. 解法一：

       （1）设交于点，∵，，∴平面. 作，连结，则，是二面角的平面角.…3分

     由已知得，，

    ∴，，二面角的大小为.…6分

       （2）当是中点时，有平面.

    证明：取的中点连结、，则，

    ∴，故平面即平面.

    ∵，∴，又平面，

    ．…………………………………………12分

    解法二：以D为原点，以DA、DC、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则

    ，，，，.…………2分

       （1），，

    ，设平面的一个法向量

    为，则 取.

    设平面的一个法向量为，则 取.

    ∴，∴二面角的大小为. …………6分

       （２）令 则

     

    由已知，，要使平面，只须，即则有

    ，得，当是中点时，有平面．…12分

    20解：(I)f(x)定义域为(一1，+∞)，                        …………………2分

        由得x<一1或x>1/a，由得一1<x<1/a，

         f(x)的单调增区间为(1/a，+∞)，单调减区间为(一1，1/a)…………………6分

    (Ⅱ)由(I)可知：

        ①当0<a≤1/2时，，f(x)在[1，2]上为减函数，

        ………………………………8分

        ②当1/2<a<1时，f(x)在[1，1/a]上为减函数，在(1/a，2]上为增函数，

        …………………………………10分

        ③当a≥1时，f(x)在[1，2]上为增函数，

        …………………………………12分

    21．解：（1），设动点P的坐标为，所以，

    所以

    由条件，得，又因为是等比，

    所以，所以，所求动点的轨迹方程 ……………………6分

       （2）设直线l的方程为，

    联立方程组得，

    ， …………………………………………8分

    ， ………………………………………………10分

    直线RQ的方程为，

      …………………………………………………………………12分

    22. 解：（Ⅰ）由题意,                -----------------------------------------------------2分

    ,

            两式相减得．                --------------------3分

            当时，,

    ∴．            --------------------------------------------------4分

    （Ⅱ）∵，

    ∴,

           ,

      ,

      ………

      ．

    以上各式相加得

    .

    ∵  ,∴.      ---------------------------6分

    ∴．     -------------------------------------------------7分

    ∴,

    ∴.

    ∴.

             =.

    ∴．  -------------------------------------------------------------9分

    （3）=

                        =4+

       =

                        ．  -------------------------------------------10分

            ∵,  ∴ 需证明，用数学归纳法证明如下：

            ①当时，成立．

            ②假设时，命题成立即，

            那么，当时，成立．

            由①、②可得，对于都有成立．

           ∴．       ∴．--------------------12分

     


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