如图，A为椭圆

x2

a2

+

y2

b1

=1（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F₁、F₂，当AC垂直于x轴时，恰好有AF₁：AF₂=3：1．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设

AF1

=λ₁

F1B

，

AF2

=λ₂

F2C

．
①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时，求λ₁+λ₂的值；
②当A点为该椭圆上的一个动点时，试判断是λ₁+λ₂否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由．

(本小题满分14分)在周长为定值的中，已知，动点的运动轨迹为曲线G,且当动点运动时，有最小值.

(1) 以所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立直角坐标系，求曲线的方程；

(2) 过点作圆的切线交曲线于，两点．将线段MN的长|MN|表示为的函数，并求|MN|的最大值．

 

 

（本小题满分14分）

已知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P在对角线A₁C₁上，记二面角P-AB-C为α，二面角P-BC-A为β。

(1) 当A₁P：PC₁=1：3时，求cos（α+β）的大小。

（2）点P是线段A₁C₁(包括端点)上的一个动点，问：当点P在什么位置时，α+β有最小值？

 

(本小题满分14分）在周长为定值的中，已知，动点的运动轨迹为曲线G,且当动点运动时，有最小值.

(1)以所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立直角坐标系，求曲线G的方程.

(2)过点(m,0)作圆x²＋y²＝1的切线l交曲线G于M，N两点．将线段MN的长|MN|表示为m的函数，并求|MN|的最大值．

 

如图，A为椭圆上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F₁、F₂，当AC垂直于x轴时，恰好有AF₁：AF₂＝3：1.

(Ⅰ) 求椭圆的离心率；(Ⅱ) 设.

①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时，求的值；

②当A点为该椭圆上的一个动点时，试判断是否

为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由.