3.运算定律 结合律:λ(μ)= ① 第一分配律:=λ+μ ② 第二分配律:λ(+)=λ+λ ③ 结合律证明: 如果λ=0.μ=0.=至少有一个成立.则①式成立 如果λ¹0.μ¹0.¹有:|λ(μ)|=|λ||μ|=|λ||μ||| ||=|λμ|| |=|λ||μ||| ∴|λ(μ)|=|| 如果λ.μ同号.则①式两端向量的方向都与同向, 如果λ.μ异号.则①式两端向量的方向都与反向 从而λ(μ)= 第一分配律证明: 如果λ=0.μ=0.=至少有一个成立.则②式显然成立 如果λ¹0.μ¹0.¹ 当λ.μ同号时.则λ和μ同向. ∴||=|λ+μ|||=|| |λ+μ|=|λ|+|μ|=|λ|||+|μ|||=|| ∵λ.μ同号 ∴②两边向量方向都与同向 即 ||=|λ+μ| 当λ.μ异号.当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λ同向,当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μ同向.且||=|λ+μ| ∴②式成立 第二分配律证明: 如果=.=中至少有一个成立.或λ=0.λ=1则③式显然成立 当¹.¹且λ¹0.λ¹1时 (1)当λ>0且λ¹1时在平面内任取一点O. 作 λ λ 则+ λ+λ 由作法知 .∥有ÐOAB=ÐOA1B1 ||=λ|| ∴λ ∴△OAB∽△OA1B1 ∴λ ÐAOB=Ð A1OB1 因此.O.B.B1在同一直线上.||=|λ| 与λ方向也相同 ∴λ(+)=λ+λ 当λ<0时 可类似证明:λ(+)=λ+λ ∴ ③式成立 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

下列类比推理的结论正确的是(  )
①类比“实数的乘法运算满足结合律”,得到猜想“向量的数量积运算满足结合律”;
②类比“平面内,同垂直于一直线的两直线相互平行”,得到猜想“空间中,同垂直于一直线的两直线相互平行”;
③类比“设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8成等差数列”,得到猜想“设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4
T8
T4
T12
T8
成等比数列”;
④类比“设AB为圆的直径,P为圆上任意一点,直线PA,PB的斜率存在,则kPA•kPB为常数”,得到猜想“设AB为椭圆的长轴,p为椭圆上任意一点,直线PA•PB的斜率存在,则kPA•kPB为常数”.

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下列说法中正确的个数是(  )
(1)满足
x2+(y-2)2
-
x2+(y+2)2
=4
的点P(x,y)的轨迹是双曲线
(2)到直线3x+y-2=0的距离等于到点P(1,-1)的距离的点的轨迹为抛物线
(3)1,100的等比中项为10
(4)向量内积运算满足结合律.

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材料:采访零向量

  W:你好!零向量.我是《数学天地》的一名记者,为了让在校的高中生更好了解你,能不能对你进行一次采访呢?

  零向量:当然可以,我们向量王国随时恭候大家的光临,很乐意接受你的采访,让高中生朋友更加了解我,更好地为他们服务.

  W:好的,那就开始吧!你的名字有什么特殊的含义吗?

  零向量:零向量就是长度为零的向量,它与数字0有着密切的联系,所以用0来表示我.

  W:你与其他向量有什么共同之处呢?

  零向量:既然我是向量王国的一个成员,就具有向量的基本性质,如既有大小又有方向,在进行加、减法运算时满足交换律和结合律,还定义了与实数的积.

  W:你有哪些值得骄傲的特殊荣耀呢?

  零向量:首先,我的方向是不定的,可以与任意的向量平行.其次,我还有其他一些向量所没有的特殊待遇:如我的相反向量仍是零向量;在向量的线性运算中,我与实数0很有相似之处.

  W:你有如此多的荣耀,那么是否还有烦恼之事呢?

  零向量:当然有了,在向量王国还有许多“权利和义务”却大有把我排斥在外之意,如平行向量的定义,向量共线定理,两向量夹角的定义都对我进行了限制.所有这些确实给一些高中生带来了很多苦恼,在此我向大家真诚地说一声:对不起,这不是我的错.但我还是很高兴有这次机会与大家见面.

  W:OK!采访就到这里吧,非常感谢你的合作,再见!

  零向量:Bye!

阅读上面的材料回答下面问题.

应用零向量时应注意哪些问题?

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下列说法中正确的是(  )

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在中学阶段,对许多特定集合(如实数集、复数集以及平面向量集等)的学习常常是以定义运算(如四则运算)和研究运算律为主要内容.现设集合A由全体二元有序实数组组成,在A上定义一个运算,记为⊙,对于A中的任意两个元素α=(a,b),β=(c,d),规定:α⊙β=(
.
a-c
bd
.
.
da
cb
.
)

(1)计算:(2,3)⊙(-1,4);
(2)请用数学符号语言表述运算⊙满足交换律和结合律,并任选其一证明;
(3)A中是否存在唯一确定的元素I满足:对于任意α∈A,都有α⊙I=I⊙α=α成立,若存在,请求出元素I;若不存在,请说明理由;
(4)试延续对集合A的研究,请在A上拓展性地提出一个真命题,并说明命题为真的理由.

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同步练习册答案