1．如图所示.直线l1和l2相交于点M.l1⊥l2.点N∈l1.以A.B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形.|AM|=.|AN|=3.且|BN|=6.建立——青夏教育精英家教网—

1．如图所示.直线l1和l2相交于点M.l1⊥l2.点N∈l1.以A.B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形.|AM|=.|AN|=3.且|BN|=6.建立适当的坐标系.求曲线段C的方程. 例2．如下图.P是抛物线C:y=x2上一点.直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.若直线l与过点P的切线垂直.求线段PQ中点M的轨迹方程. ［剖析］欲求PQ中点M的轨迹方程.需知P.Q的坐标.思路一.P.Q是直线l与抛物线C的交点.故需求直线l的方程.再与抛物线C的方程联立.利用韦达定理.中点坐标公式可求得M的轨迹方程,思路二.设出P.Q的坐标.利用P.Q的坐标满足抛物线C的方程.代入抛物线C的方程相减得PQ的斜率.利用PQ的斜率就是l的斜率.可求得M的轨迹方程. ［解］设P(x1.y1).Q(x2.y2).M(x0.y0).依题意知x1≠0.y1>0.y2>0. 由y=x2. ① 得y′=x. ∴过点P的切线的斜率k切=x1.∴直线l的斜率kl=-=-. 直线l的方程为y-x12=-(x-x1) ② 方法一:联立①②消去y.得x2+x-x12-2=0.∵M为PQ的中点. ∴ x0==-. y0=x12-(x0-x1). 消去x1.得y0=x02++1(x0≠0). ∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0). 方法二:由y1=x12.y2=x22.x0=. 得y1-y2=x12-x22=(x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2). 则x0==kl=-.∴x1=-. 将上式代入②并整理.得y0=x02++1(x0≠0). ∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0). ［警示］本题主要考查了直线.抛物线的基础知识.以及求轨迹方程的常用方法. 与弦的中点有关的问题.可采用“消参法 .即设出弦中点坐标.代入圆锥曲线方程.根据斜率公式.消去参数.得弦中点的轨迹方程,或直接设出弦的两个端的坐标及中点坐标.根据端点坐标适合圆锥曲线方程.联立方程.采用“设点作差的方法.分析轨迹方程.这种方法相比较而言.“设点作差的计算过程更为简单.但是一般要知道相交弦的中点坐标时方可采用.有一定的限制性. ［变式训练］【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

如图所示，直线l₁和l₂相交于点M，l₁⊥l₂，点N∈l₁，以A、B为端点的曲线段C上任一点到l₂的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|＝，|AN|＝3，且|NB|＝6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．