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    题型1:平面向量的概念 例1．(1)给出下列命题: ①若||＝||.则=, ②若A.B.C.D是不共线的四点.则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件, ③若=.=.则=, ④=的充要条件是||=||且//, ⑤ 若//.//.则//, 其中正确的序号是 . (2)设为单位向量.(1)若为平面内的某个向量.则=||·;(2)若与a0平行.则=||·,(3)若与平行且||=1.则=.上述命题中.假命题个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析:(1)①不正确．两个向量的长度相等.但它们的方向不一定相同, ②正确,∵ .∴ 且. 又 A.B.C.D是不共线的四点.∴ 四边形 ABCD为平行四边形,反之.若四边形ABCD为平行四边形.则.且. 因此.. ③正确,∵ =.∴ .的长度相等且方向相同, 又＝.∴ .的长度相等且方向相同. ∴ .的长度相等且方向相同.故＝. ④不正确,当//且方向相反时.即使||=||.也不能得到=.故||=||且//不是=的充要条件.而是必要不充分条件, ⑤不正确,考虑=这种特殊情况, 综上所述.正确命题的序号是②③. 点评:本例主要复习向量的基本概念.向量的基本概念较多.因而容易遗忘.为此.复习时一方面要构建良好的知识结构.另一方面要善于与物理中.生活中的模型进行类比和联想. (2)向量是既有大小又有方向的量.与||模相同.但方向不一定相同.故(1)是假命题,若与平行.则与方向有两种情况:一是同向二是反向.反向时=-||.故也是假命题.综上所述.答案选D. 点评:向量的概念较多.且容易混淆.故在学习中要分清.理解各概念的实质.注意区分共线向量.平行向量.同向向量等概念. 题型2:平面向量的运算法则 例2．(1)如图所示.已知正六边形ABCDEF.O是它的中心.若=.=.试用.将向量... 表示出来. 如图.在平行四边形ABCD中.下列结论中错误的是 A．＝ B．+＝ C．-＝ D．+＝ 如图1所示.D是△ABC的边AB上的中点.则向量( ) A． B． C． D． (1)解析:根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则.用向量.来表示其他向量.只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可. 因为六边形ABCDEF是正六边形.所以它的中心O及顶点A.B.C四点构成平行四边形ABCO. 所以.=+.= =+. 由于A.B.O.F四点也构成平行四边形ABOF.所以=+=+=++=2+. 同样在平行四边形 BCDO中.＝＝＝+(+)＝+2.＝＝-. 点评:其实在以A.B.C.D.E.F及O七点中.任两点为起点和终点.均可用 .表示.且可用规定其中任两个向量为..另外任取两点为起点和终点.也可用.表示. (2)C． (3).故选A. 例3．设A.B.C.D.O是平面上的任意五点.试化简: ①.②.③. 解析:①原式= , ②原式= , ③原式= . 例4．设为未知向量..为已知向量.解方程2-(5+3-4)+ -3=0 解析:原方程可化为:(2 - 3) + (-5+) + (4-3) = 0. ∴ =+ . 点评:平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则.求解时兼顾到向量的性质. 题型3:平面向量的坐标及运算 例5．已知中.A,BC边上的高为AD.求. 解析:设D(x,y).则 ∵ 得 所以. 例6．已知点,试用向量方法求直线和(为坐标原点)交点的坐标. 解析:设.则 因为是与的交点.所以在直线上.也在直线上. 即得.由点得.. 得方程组.解之得. 故直线与的交点的坐标为. 题型4:平面向量的性质 例7．平面内给定三个向量.回答下列问题: (1)求满足的实数m,n, (2)若.求实数k, (3)若满足.且.求. 解析:(1)由题意得.所以.得. (2). , (3) 由题意得.得或. 例8．已知 (1)求, (2)当为何实数时.与平行. 平行时它们是同向还是反向? 解析:(1)因为 所以 则 (2). 因为与平行.所以即得. 此时..则.即此时向量与方向相反. 点评:上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现.重点掌握平面向量的共线的判定以及平面向量模的计算方法. 题型5:共线向量定理及平面向量基本定理 例9．平面直角坐标系中.O为坐标原点.已知两点A(3.1).B.若点C满足.其中α.β∈R.且α+β=1.则点C的轨迹方程为( ) A．3x+2y-11=0 B．(x-1)2+(y-2)2=5 C．2x-y=0 D．x+2y-5=0 解法一:设.则. 由得. 于是.先消去.由得. 再消去得.所以选取D. 解法二:由平面向量共线定理. 当.时.A.B.C共线. 因此.点C的轨迹为直线AB.由两点式直线方程得即选D. 点评:熟练运用向量的加法.减法.实数与向量的积的坐标运算法则进行运算,两个向量平行的坐标表示,运用向量的坐标表示.使向量的运算完全代数化.将数与形有机的结合. 例10．已知︱︱=1.︱︱=,=0,点C在∠AOB内.且∠AOC=30°.设=m+n(m.n∈R).则等于( ) A． B．3 C． D． 如图:OM∥AB.点P由射线OM.线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内.且.则实数对(x,y)可以是( ) A． B. C. D. 解析:C. 题型6:平面向量综合问题 例11．已知向量与的对应关系用表示. (1)证明:对于任意向量及常数m.n恒有成立, (2)设.求向量及的坐标, (3)求使.的向量的坐标 解析:(1)设.则. 故 . ∴ (2)由已知得=(1.1).= (3)设=(x.y).则. ∴y=p.x=2p-q.即=. 例12．求证:起点相同的三个非零向量..3-2的终点在同一条直线上. 证明:设起点为O.＝.=.＝3-2. 则=2(-).=-.. ∵ 共线且有公共点A.因此.A.B.C三点共线. 即向量..3-2的终点在同一直线上． 点评:(1)利用向量平行证明三点共线.需分两步完成:① 证明向量平行,② 说明两个向量有公共点, ⑵用向量平行证明两线段平行也需分两步完成:①证明向量平行,②说明两向量无公共点. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    非空集合G关于运算满足：①对于任意a、b∈G，都有a?b∈G；②存在e∈G，使对一切a∈G都有a?e=e?a=a，则称G关于运算为融洽集，现有下列集合运算：
    （1）G={非负整数}，为整数的加法；
    （2）G={偶数}，为整数的乘法；
    （3）G={平面向量}，为平面向量的加法；
    （4）G={二次三项式}，为多项式的加法；
    其中关于运算的融洽集有
    （1）（3）
    （1）（3）
    ．

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    （2009•闵行区一模）如图，直三棱柱OAB-O1A1B1中，∠AOB=90°，M是侧棱BB1上一点，向量
    a
    =(1，  1，  -1)    是平面OA1M的一个法向量，则平面OAB与平面OA1M所成二面角的锐角为
    arccos
    		3
    3
    arccos
    		3
    3
    （结果用反三角函数值表示）．

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    非空集合G关于运算⊕满足：（1）对任意a、b∈G，都有a⊕b∈G；（2）存在c∈G，使得对一切a∈G，都有a⊕c=c⊕a=a，则称G关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：
    ①G={非负整数}，⊕为整数的加法；
    ②G={偶数}，⊕为整数的乘法；
    ③G={平面向量}，⊕为平面向量的加法；
    ④G={二次三项式}，⊕为多项式的加法．
    其中G关于运算⊕为“融洽集”的是（　　）

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    非空集合M关于运算⊕满足：（1）对任意的a，b∈M，都有a⊕b∈M；（2）存在e∈M，使得对一切a∈M，都有a⊕e=e⊕a=a，则称M关于运算⊕为“理想集”．现给出下列集合与运算：
    ①M={非负整数}，⊕为整数的加法；
    ②M={偶数}，⊕为整数的乘法；
    ③M={二次三项式}，⊕为多项式的加法；
    ④M={平面向量}，⊕为平面向量的加法；
    其中M关于运算⊕为“理想集”的是
     
    ．（只需填出相应的序号）

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    以下有关平面向量的结论：
    ①
    a
    •
    b
    =
    a
    •
    c
    ⇒
    b
    =
    c
    ；②(
    a
    +
    b
    )(
    a
    -
    b
    )=0⇒|
    a
    |=|
    b
    |    ；③(
    a
    •
    b
    )•
    c
    =
    a
    •(
    b
    •
    c
    )    ；④
    a
    •
    b
    =|
    a•
    b
    |⇒
    a
    =
    b
    ，
    其中正确的结论有（　　）

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