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19、下面（A），（B），（C），（D）为四个平面图形：

	交点数	边数	区域数
（A）	4	5	2
（B）	5	8
（C）		12	5
（D）		15

（1）数出每个平面图形的交点数、边数、区域数，并将相应结果填入表格；
（2）观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为E，F，G，试猜想E，F，G之间的等量关系（不要求证明）；
（3）现已知某个平面图形有2010个交点，且围成2010个区域，试根据以上关系确定该平面图形的边数．

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（A）（不等式选讲）不等式log₃（|x-4|+|x+5|）＞a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是

 

；
（B） （几何证明选讲）如图，已知在△ABC中，∠C=90°，正方形DEFC內接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC=1，BC=2，则正方形DEFC的边长等于

 

；
（C） （极坐标系与参数方程）曲线ρ=2sinθ与ρ=2cosθ相交于A，B两点，则直线AB的方程为

 

．

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（A）（几何证明选讲选做题）如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，则BD的长为=

16

5

16

5

；
（B）（不等式选讲选做题）关于x的不等式|x-1|+|x-2|≤a²+a+1的解集为空集，则实数a的取值范围是

（-1，0）

（-1，0）

；
（C）（坐标系与参数方程选做题）已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的参数方程为

x=3cosθ y=sinθ

（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρcos(θ-

π

3

)=6．点P在曲线C上，则点P到直线l的距离的最小值为

6-

3

6-

3

．

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一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．

1-5：DBADC； 6-10：BACDC； 11-12： BC.

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．

13．3； 14．-4； 15．1； 16．．

三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解：（Ⅰ）∵l₁∥l₂，，

∴，????????????????????????? 3分

∴，

∴．??????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵且，

∴，∴，当且仅当时取＂＝＂．??? 8分

∵，∴，???????????? 10分

∴，当且仅当时取＂＝＂．

故△ABC面积取最大值为．?????????????????????? 12分

18．解：（Ⅰ）ξ=3表示取出的三个球中数字最大者为3．

①三次取球均出现最大数字为3的概率；??????????? 1分

②三次取球中有2次出现最大数字3的概率；????? 3分

③三次取球中仅有1次出现最大数字3的概率．????? 5分

∴P(ξ=3)=P₁＋P₂＋P₃=．??????????????????????? 6分

（Ⅱ）在ξ＝k时, 利用（Ⅰ）的原理可知：

（k=1、2、3、4）．?? 8分

则ξ的概率分布列为：

ξ

1

2

3

4

P

??????????????????????????????????? 10分

∴ξ的数学期望Eξ=1×＋2×＋3×＋4× = ．????????? 12分

19．（Ⅰ）证明：∵四边形AA₁C₁C是菱形，∴AA₁＝A₁C₁＝C₁C＝CA＝1，∴△AA₁B是等边三角形，设O是AA₁的中点，连接BO，则BO⊥AA₁． 2分

∵侧面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，∴BO⊥平面AA₁C₁C，菱形AA₁C₁C面积为，知C到AA₁的距离为，，∴△AA₁C₁是等边三角形，且C₁O⊥AA₁，又C₁O∩BO=O．

∴AA₁⊥面BOC₁，又BC₁Ì面BOC₁．∴AA₁⊥BC₁．??????????????? 4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA、OC₁、OB两两垂直，以O为原点，建立如图空间直角坐标系，则，，，，．则，，，．??????????????????????????? 5分

设是平面ABC的一个法向量，

则即

令，则．设A₁到平面ABC的距离为d．

∴．????????????????????? 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面ABC的一个法向量是，又平面ACC₁的一个法向量．    9分

∴．????????????????? 11分

∴二面角B－AC－C₁的余弦值是．??????????????????? 12分

20．解：（Ⅰ），对称轴方程为，故函数在[0,1]上为增函数，∴．???????????????????????? 2分

当时，．?????????????????????????? 3分

∵            ①

∴       ②

②-①得，即，?????????????? 4分

则，∴数列是以为首项，为公比的等比数列．

∴，∴．?????????????? 6分

（Ⅱ）∵，∴．

∵???????????????? 7分

可知：当时，；当时，；当时，．

即????????????????????? 10分

可知存在正整数或6，使得对于任意的正整数n，都有成立．??? 12分

21．解：（Ⅰ）设，，，

，，，

，，

．∵，

∴，∴，∴．?????????????????? 2分

则N(c，0)，M(0，c)，所以，

∴，则，．

∴椭圆的方程为．?????????????????????? 4分

（Ⅱ）∵圆O与直线l相切，则，即,????????? 5分

由消去y得．

∵直线l与椭圆交于两个不同点，设，

，

∴，，?????????????????? 7分

∴，

由，，．????? 8分

．??????????? 9分

（或）．

设，则，，，

令，则，

∴在时单调递增，????????????????????? 11分

∴S关于μ在区间单调递增，，，

∴．???????????????????????????? 12分

（或，

∴S关于u在区间单调递增，???????????????????? 11分

∵，，．）???????????????? 12分

22．解：（Ⅰ）因为，，则，   1分

当时，；当时，．

∴在上单调递增；在上单调递减，

∴函数在处取得极大值．???????????????????? 2分

∵函数在区间（其中）上存在极值，

∴解得．??????????????????????? 3分

（Ⅱ）不等式，即为，???????????? 4分

记，∴，?? 5分

令，则，∵，∴，在上递增，

∴，从而，故在上也单调递增，

∴，

∴．??????????????????????????????? 7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：恒成立，即，??? 8分

令则，??????????????? 9分

∴，

，

，

………

，??????????????????????? 10分

叠加得：

．???????????????????? 12分

则，

∴.???????????????????? 14