（2012•蓝山县模拟）某旅游景区的观景台P位于高（山顶到山脚水平面M的垂直高度PO）为2km的山峰上，山脚下有一段位于水平线上笔直的公路AB，山坡面可近似地看作平面PAB，且△PAB为等腰三角形．山坡面与山脚所在水平面M所成的二面角为α（0°＜α＜90°），且sinα=

2

5

．现从山脚的水平公路AB某处C₀开始修建一条盘山公路，该公路的第一段、第二段、第三段…，第n-1段依次为
C₀C₁，C₁C₂，C₂C₃，…，C_n-1C_n（如图所示），且C₀C₁，C₁C₂，C₂C₃，…，C_n-1C_n与AB所成的角均为β，其中0＜β＜90°，sinβ=

1

4

．试问：
（1）每修建盘山公路多少米，垂直高度就能升高100米．若修建盘山公路至半山腰（高度为山高的一半），在半山腰的中心Q处修建上山缆车索道站，索道PQ依山而建（与山坡面平行，离坡面高度忽略不计），问盘山公路的长度和索道的长度各是多少？
（2）若修建xkm盘山公路，其造价为

x2+100

 a万元．修建索道的造价为2

2

a万元/km．问修建盘山公路至多高时，再修建上山索道至观景台，总造价最少．

（2006•西城区二模）如图，四棱锥S-ABCD中，平面SAC与底面ABCD垂直，侧棱SA、SB、SC与底面ABCD所成的角均为45°，AD∥BC，且AB=BC=2AD．
（1）求证：四边形ABCD是直角梯形；
（2）求异面直线SB与CD所成角的大小；
（3）求直线AC与平面SAB所成角的大小．

若一个平面与正方体的12条棱所成的角均为θ，那么cosθ等于．