已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，短轴两个端点为A、B，且四边形F₁AF₂B是边长为2的正方形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：

OM

•

OP

为定值．
（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点F₂与抛物线C₂：y²=4x的焦点重合，椭圆C₁与抛物线C₂在第一象限的交点为P，|PF2|=

5

3

．圆C₃的圆心T是抛物线C₂上的动点，圆C₃与y轴交于M，N两点，且|MN|=4．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）证明：无论点T运动到何处，圆C₃恒经过椭圆C₁上一定点．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的两焦点分别为F₁、F₂，|F1F2|=4

2

，离心率e=

2 2

3

．过直线l：x=

a2

c

上任意一点M，引椭圆C的两条切线，切点为A、B．
（1）在圆中有如下结论：“过圆x²+y²=r²上一点P（x₀，y₀）处的切线方程为：x₀x+y₀y=r²”．由上述结论类比得到：“过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），上一点P（x₀，y₀）处的切线方程”（只写类比结论，不必证明）．
（2）利用（1）中的结论证明直线AB恒过定点（2

2

，0）；
（3）当点M的纵坐标为1时，求△ABM的面积．