Question

已知椭圆的左右焦点分别为、，短轴两个端点为、，且四边形是边长为2的正方形.
（1）求椭圆方程；
（2）若分别是椭圆长轴的左右端点，动点满足，连接，交椭圆于点，证明：为定值；
（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线的交点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(1)；（2）详见解析；（3）存在Q(0,0)

解析试题分析：(1)根据椭圆的简单几何性质易得；(2)可设，写出直线CM的方程，与椭圆方程联立，把P的坐标用表示，然后进行平面向量的坐标运算即可；（3）对于存在性问题，可先假设定点存在，然后向量进行坐标运算求出Q（0，0）满足条件.
试题解析：（1），，椭圆方程为,4分
（2），设，则,
直线：，即，
代入椭圆得,
，，，
（定值）,10分
（3）设存在满足条件，则,

从而得m=0，∴存在Q（0，0）满足条件.14分
考点：(1)椭圆的简单几何性质；（2）平面向量的坐标运算；（3）存在性问题.