已知点点分别是轴和轴上的动点,且,动点满足,设动点的轨迹为E.
(1)求曲线E的方程;
(2)点Q(1,a),M,N为曲线E上不同的三点,且,过M,N两点分别作曲线E的切线,记两切线的交点为,求的最小值.
(1);(2).
解析试题分析:(1)设,利用,用表示的坐标,然后利用,得到的方程,得到点轨迹;
(2)解法一:利用曲线方程,求出点坐标,设,,,通过联立方程,得到的坐标,利用导数,列出过点的切线方程,解出点的坐标,然后再求的最小值,
解法二:利用导数,列出过点的切线方程,解出点的坐标,然后结合,能够得到关于点所满足的方程,再求出的最小值.
试题解析:(1)解:设
,由得 4分
(2)解法一:易知,设,,,
设的方程为
联立方程消去,得,所以.
同理,设的方程为,. 6分
对函数求导,得,
所以抛物线在点处的切线斜率为,
所以切线的方程为,即.
同理,抛物线在点处的切线的方程为. 8分
联立两条切线的方程
解得,,
所以点的坐标为.因此点在直线上. 10分
因为点到直线的距离,
所以,当且仅当点时等号成立.
由,得,验证知符合题意.
所以当时,有最小值. 12分
解法二:由题意,,设,,,
对函数
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C的两个焦点分别为,且点在椭圆C上,又.
(1)求焦点F2的轨迹的方程;
(2)若直线与曲线交于M、N两点,以MN为直径的圆经过原点,求实数b的取值范围.
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已知抛物线的准线与x轴交于点M,过点M作圆的两条切线,切点为A、B,.
(1)求抛物线E的方程;
(2)过抛物线E上的点N作圆C的两条切线,切点分别为P、Q,若P,Q,O(O为原点)三点共线,求点N的坐标.
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已知定点与分别在轴、轴上的动点满足:,动点满足.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)设过点任作一直线与点的轨迹交于两点,直线与直线分别交于点(为坐标原点);
(i)试判断直线与以为直径的圆的位置关系;
(ii)探究是否为定值?并证明你的结论.
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已知椭圆的左右焦点分别为、,短轴两个端点为、,且四边形是边长为2的正方形.
(1)求椭圆方程;
(2)若分别是椭圆长轴的左右端点,动点满足,连接,交椭圆于点,证明:为定值;
(3)在(2)的条件下,试问轴上是否存在异于点的定点,使得以为直径的圆恒过直线的交点?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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如图,在平面直角坐标系中,已知,,是椭圆上不同的三点,,,在第三象限,线段的中点在直线上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求点C的坐标;
(3)设动点在椭圆上(异于点,,)且直线PB,PC分别交直线OA于,两点,证明为定值并求出该定值.
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如图,已知椭圆E:的离心率为,过左焦点且斜率为的直线交椭圆E于A,B两点,线段AB的中点为M,直线:交椭圆E于C,D两点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)求证:点M在直线上;
(3)是否存在实数k,使得三角形BDM的面积是三角形ACM的3倍?若存在,求出k的值;
若不存在,说明理由.
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如图,椭圆经过点,其左、右顶点分别是、,左、右焦点分别是、,(异于、)是椭圆上的动点,连接交直线于、两点,若成等比数列.
(1)求此椭圆的离心率;
(2)求证:以线段为直径的圆过点.
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如图,椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程.
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