如图①，直线y=x-3与x轴、y轴分别交于B、C两点，点A在x轴负半轴上，且

OA

OC

=

1

3

，抛物线经过A、B、C三点，D为线段AB中点，点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连接DP交BC于点E．
（1）写出A、B、C三点的坐标，并求抛物线的解析式；
（2）当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标；
（3）连接PC、PB（如图②），△PBC是否有最大面积？若有，求出△PBC的最大面积和此时P点的坐标；若没有，请说明理由．

如图13，对称轴为的抛物线与轴相交于点、.

(1）求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标；

(2)连结AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线.点P是上一动点.设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为，当0＜S≤18时，求的取值范围；

(3)在（2）的条件下，当取最大值时，抛物线上是否存在点，使△为直角三角形且OP为直角边.若存在,直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.

 

如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM=|CE-EO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO．
（1）试比较EO、EC的大小，并说明理由；
（2）令m=

S四边形CFGH

S四边形CMNO

，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若CO=1，CE=

1

3

，Q为AE上一点且QF=

2

3

，抛物线y=mx²+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式；
（4）在（3）的条件下，若抛物线y=mx²+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似？若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标；若不存在，请说明理由．

如图所示，已知A点的坐标为（-1，0），点B的坐标是（9，0）以AB为直径作⊙O′，交y轴负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C作抛物线
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是AC延长线上的一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连接BD求BD直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点P是直线BC下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△PCD的面积是△BCD面积的

1

3

，求此时点P的坐标．