在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内 作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．
B．已知二阶矩阵A=

2 a b 0

属于特征值-1的一个特征向量为

1 -3

，求矩阵A的逆矩阵．

C．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，直线l的参数方程为

x=- 3 t y=1+t

（t为参数，t∈{R}）．试求曲线C上点M到直线l的距离的最大值．
D．（1）设x是正数，求证：（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³；
（2）若x∈R，不等式（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³是否仍然成立？如果仍成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．

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在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内 作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．
B．已知二阶矩阵属于特征值-1的一个特征向量为，求矩阵A的逆矩阵．

C．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，直线l的参数方程为（t为参数，t∈{R}）．试求曲线C上点M到直线l的距离的最大值．
D．（1）设x是正数，求证：（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³；
（2）若x∈R，不等式（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³是否仍然成立？如果仍成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．

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随着环保理念的深入，用建筑钢材余料创作城市雕塑逐渐流行．下图是其中一个抽象派雕塑的设计图．图中α表示水平地面，线段AB表示的钢管固定在α上；为了美感，需在焊接时保证：线段AC表示的钢管垂直于α，BD⊥AB，且保持BD与AC异面．
（1）若收集到的余料长度如下：AC=BD=24（单位长度），AB=7，CD=25，按现在手中的材料，求BD与α应成的角；
（2）设计师想在AB，CD中点M，N处再焊接一根连接管，然后挂一个与AC，BD同时平
行的平面板装饰物．但他担心此设计不一定能实现．请你替他打消疑虑：无论AB，CD多长，焊接角度怎样，一定存在一个过MN的平面与AC，BD同时平行（即证明向量

MN

与

AC

，

BD

共面，写出证明过程）；
（3）如果事先能收集确定的材料只有AC=BD=24，请替设计师打消另一个疑虑：即MN要准备多长不用视AB，CD长度而定，只与θ有关（θ为设计的BD与α所成的角），写出MN与θ的关系式，并帮他算出无论如何设计MN都一定够用的长度．

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随着环保理念的深入，用建筑钢材余料创作城市雕塑逐渐流行．下图是其中一个抽象派雕塑的设计图．图中α表示水平地面，线段AB表示的钢管固定在α上；为了美感，需在焊接时保证：线段AC表示的钢管垂直于α，BD⊥AB，且保持BD与AC异面．
（1）若收集到的余料长度如下：AC=BD=24（单位长度），AB=7，CD=25，按现在手中的材料，求BD与α应成的角；
（2）设计师想在AB，CD中点M，N处再焊接一根连接管，然后挂一个与AC，BD同时平
行的平面板装饰物．但他担心此设计不一定能实现．请你替他打消疑虑：无论AB，CD多长，焊接角度怎样，一定存在一个过MN的平面与AC，BD同时平行（即证明向量与，共面，写出证明过程）；
（3）如果事先能收集确定的材料只有AC=BD=24，请替设计师打消另一个疑虑：即MN要准备多长不用视AB，CD长度而定，只与θ有关（θ为设计的BD与α所成的角），写出MN与θ的关系式，并帮他算出无论如何设计MN都一定够用的长度．

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随着环保理念的深入，用建筑钢材余料创作城市雕塑逐渐流行．下图是其中一个抽象派雕塑的设计图．图中α表示水平地面，线段AB表示的钢管固定在α上；为了美感，需在焊接时保证：线段AC表示的钢管垂直于α，BD⊥AB，且保持BD与AC异面．
（1）若收集到的余料长度如下：AC=BD=24（单位长度），AB=7，CD=25，按现在手中的材料，求BD与α应成的角；
（2）设计师想在AB，CD中点M，N处再焊接一根连接管，然后挂一个与AC，BD同时平
行的平面板装饰物．但他担心此设计不一定能实现．请你替他打消疑虑：无论AB，CD多长，焊接角度怎样，一定存在一个过MN的平面与AC，BD同时平行（即证明向量与，共面，写出证明过程）；
（3）如果事先能收集确定的材料只有AC=BD=24，请替设计师打消另一个疑虑：即MN要准备多长不用视AB，CD长度而定，只与θ有关（θ为设计的BD与α所成的角），写出MN与θ的关系式，并帮他算出无论如何设计MN都一定够用的长度．

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一、填空题

1．   2．    3．2   4．  5. 10   6．i100  7．  

8．    9．   10．   11．   12．

二、选择题

13．   14．A  15．A．  16． D

三、解答题

17．由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD ;-----------------------------------------（3分）

   （1）     -------------（3分）

   （2）  该四棱锥有两个侧面VAD. VBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为

, ---------------------（2分）

另两个侧面VAB. VCD也是全等的等腰三角形,

AB边上的高为   -------（2分）

因此   ------（2分）

18．

   （1）由题意可得：=5---------------------------（2分）

由：  得：=314--------（4分）

或：，

  （2）方法一：由：或------（1分）

        或--------（2分）

    得：0.0110-------------------------------------------------------------（1分）

方法二：由：

    得：----------------------------------------------------------------（1分）

由：点和点的纵坐标相等，可得点和点关于点对称---（1分）

即：------------------------------------------------------------（1分）

得：0.011-----------------------------------------------------------------------（1分）

（理科二种解法各1分）

19．解：（1）、函数的定义域为R；----------------------------（1分）

当时；当时；当时；----------（1分）

所以，函数在定义域R上不是单调函数，----------------------（1分）

所以它不是“类函数” -----------------------------------------------------------（1分）

   （2）函数在上单调递增，--------------------------（2分）

要使它是“类函数”，即存在两个不相等的常数 ，

使得同时成立，------------------------（1分）

即关于的方程有两个不相等的实根，-------------------（2分）

，--------------------------------------------------------------（1分）

亦即直线与曲线在上有两个不同的交点，-（2分）

所以，----------------------------------------------------------------------------（2分）

20．解：

   （1）

若，由，得数列构成等比数列------------------（3分）

若，，数列不构成等比数列--------------------------------------（1分）

   （2）由，得：-------------------------------------（1分）

---------------------------------------------------------（1分）

----------------------------------------------（1分）

----（1分）

------------------------------------------------------------------（1分）

---------------------------------------------------------------------（1分）

   （3）

由：

得：----------------------------------------------------（2分）

---------------------------------------------（1分）

当时

所以，数列从第二项起单调递增数列----------------------（2分）

当时，取得最小值为 -------------------------（1分）

21． 解：

   （1）双曲线焦点坐标为，渐近线方程---（2分）

双曲线焦点坐标，渐近线方程----（2分）

   （2）

得方程: -------------------------------------------（1分）

设直线分别与双曲线的交点、  的坐标分别为，线段 中点为坐标为

----------------------------------------------------------（1分）

得方程: ----------------------------------------（1分）

设直线分别与双曲线的交点、  的坐标分别为，线段 中点为坐标为

---------------------------------------------------（1分）

由，-----------------------------------------------------------（1分）

所以，线段与不相等------------------------------------（1分）

   （3）

若直线斜率不存在，交点总个数为4；-------------------------（1分）

若直线斜率存在，设斜率为，直线方程为

直线与双曲线：

    得方程:   ①

直线与双曲线：

     得方程:    ②-----------（1分）

的取值

直线与双曲线右支的交点个数

直线与双曲线右支的交点个数

交点总个数

1个（交点）

1个（交点）

2个

1个（，）

1个（，）

2个

1个（与渐进线平行）

1个（理由同上）

2个

2个（，方程①两根都大于2）

1个（理由同上）

3个

2个（理由同上）

1个（与渐进线平行）

3个

2个（理由同上）

2个（，方程②

两根都大于1）

4个

得：-------------------------------------------------------------------（3分）

由双曲线的对称性可得：

的取值

交点总个数

2个

2个

3个

3个

4个

得：-------------------------------------------------------------------（2分）

综上所述：（1）若直线斜率不存在，交点总个数为4；

   （2）若直线斜率存在，当时，交点总个数为2个；当或 时，交点总个数为3个；当或时，交点总个数为4个；---------------（1分）

上海市奉贤区2009年4月高考模拟考试

数学试题（文）

考生注意：

1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.

2.本试卷共有21道试题，满分150分.考试时间120分钟.

一、填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，只要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分.

1．___________.

2．函数的定义域为__________ .

3．已知复数，则____________.

4．的值为           

5．的展开式中的系数为          .

6．右图给出的是计算的值的一个程序框图， 

其中判断框内应填入的条件是__________.

7．计算：设向量，若向量与向量垂直，则实数     .

8．若直线与圆没有公共点，则实数的取值范围是___________.

9．在等差数列中，设，对任意，有 则_____________.