11.(2009·山东高考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]　　　　　　　　 上是增函数.若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x₁，x₂，x₃，x₄，　　　　 则x₁+x₂+x₃+x₄＝　　.

　　 解析：由f(x－4)＝－f(x)⇒f(4－x)＝f(x)，

　　 故函数图象关于直线x＝2对称，

　　 又函数f(x)在[0,2]上是增函数，且为奇函数，

　　 故f(0)＝0，故函数f(x)在(0,2]上大于0，

　　 根据对称性知函数f(x)在[2,4)上大于0，

　　 同理推知函数f(x)在(4,8)上小于0，故在区间(0,8)上方程f(x)＝m(m＞0)的两根关于　 直线x＝2对称，

　　 故此两根之和等于4，

　　 根据f(x－4)＝－f(x)⇒f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，

　　 函数f(x)以8为周期，

　　 故在区间(－8,0)上方程f(x)＝m(m＞0)的两根关于直线x＝－6对称，此两根之和等　 于－12，

　　 综上四个根之和等于－8.

　　 答案：－8

10.(2009·福建高考)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如右图所示，

则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是　　　 (　)

A.y＝x²+1

B.y＝|x|+1

C.y＝

D.y＝

解析：∵f(x)为偶函数，由图象知，

f(x)在(－2,0)上为减函数，

而y＝x³+1在(－∞，0)上为增函数，故选C.

答案：C

9.定义在R上的偶函数f(x)，对任意x₁，x₂∈[0，+∞)(x₁≠x₂)，有＜0，则(　)

A.f(3)＜f(－2)＜f(1)　　　　　　 　B.f(1)＜f(－2)＜f(3)

C.f(－2)＜f(1)＜f(3)　 　　　　　　D.f(3)＜f(1)＜f(－2)

解析：由已知＜0，得f(x)在x∈[0，+∞)上单调递减，由偶函数性质得f(3)＜f(－2)＜f(1)，故选A.此类题能用数形结合更好.

答案：A

8.(2010·滨州模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足：当x＞0时，f(x)＝2008^x+log₂₀₀₈x，则方程f(x)＝0的实根的个数为　　.

解析：当x＞0时，f(x)＝0即2008^x＝－log₂₀₀₈x，在同一坐标系下分别画出函数f₁(x)＝2008^x，f₂(x)＝－log₂₀₀₈x的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f(x)＝0只有一个实根，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x＜0时，方程f(x)＝0也有一个实根，又因为f(0)＝0，所以方程f(x)＝0的实根的个数为3.

答案：3

7.已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的偶函数，在(0，+∞)上单调递减，且f()＞0＞f(－)，则方程f(x)＝0的根的个数为　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.0 　　　　B.1 　　　C.2 　　　　　　D.3

解析：由于函数是偶函数，且在(0，+∞)上单调递减，因此在(－∞，0)上单调递增，又因为f()＞0＞f(－)＝f()，所以函数f(x)在(，)上与x轴有一个交点，必在(－，－)上也有一个交点，故方程f(x)＝0的根的个数为2.

答案：C

6.设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x+2)＝f(x)+f(2)，则f(5)＝　　　　　 (　)

A.0 　　　　B.1 　　　C. 　　　　D.5

解析：由f(1)＝，

对f(x+2)＝f(x)+f(2)，

令x＝－1，

得f(1)＝f(－1)+f(2).

又∵f(x) 为奇函数，∴f(－1)＝－f(1).

于是f(2)＝2f(1)＝1；

令x＝1，得f(3)＝f(1)+f(2)＝，

于是f(5)＝f(3)+f(2)＝.

答案：C

5.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x+4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x²，则f(7)＝(　)

A.－2　 　　　B.2　　　　　 C.－98　 　　　　　　D.98

解析：由f(x+4)＝f(x)，得f(7)＝f(3)＝f(－1)，

又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，

f(1)＝2×1²＝2，∴f(7)＝－2.故选A.

答案：A

4.已知函数f (x)＝ax⁴+bcosx－x，且f (－3)＝7，则f (3)的值为　　　　　　　　　 (　)

A.1　 　　　B.－7 　　　C.4 　　　　D.－10

解析：设g(x)＝ax⁴+bcosx，则g(x)＝g(－x).由f (－3)＝g(－3)+3，得g(－3)＝f(－3)－3＝4，所以g(3)＝g(－3)＝4，所以f (3)＝g(3)－3＝4－3＝1.

答案：A

3.(2009·浙江高考)若函数f(x)＝x²+(a∈R)，则下列结论正确的是　　　　　　 (　)

A.∀a∈R，f(x) 在(0，+∞)上是增函数

B.∀a∈R，f(x)在(0，+∞)上是减函数

C.∃a∈R，f(x)是偶函数

D.∃a∈R，f(x)是奇函数

解析：当a＝16时，f(x)＝x²+，f′(x)＝2x－，

令f′(x)＞0得x＞2.

∴f(x)在(2，+∞)上是增函数，故A、B错.

当a＝0时，f(x)＝x²是偶函数，故C正确.

D显然错误，故选C.

答案：C

2.(2010·长郡模拟)已知二次函数f(x)＝x²－ax+4，若f(x+1)是偶函数，则实数a的值为(　)

A.－1　　 　B.1 　　C.－2　 　　　　D.2

解析：∵f(x)＝x²－ax+4，

∴f(x+1)＝(x+1)²－a(x+1)+4

＝x²+2x+1－ax－a+4

＝x²+(2－a)x+5－a，

f(1－x)＝(1－x)²－a(1－x)+4

＝x²－2x+1－a+ax+4

＝x²+(a－2)x+5－a.

∵f(x+1)是偶函数，

∴f(x+1)＝f(－x+1)，

∴a－2＝2－a，即a＝2.

答案：D