2．一个小球从距地面4 m高处落下，被地面弹回，在距地面1 m高处被接住．坐标原点定在抛出点正下方2 m处，向下方向为坐标轴的正方向．则小球的抛出点、落地点、接住点的位置坐标分别是 (　)

A．2 m，－2 m，－1 m　　B．－2 m,2 m,1 m

C．4 m,0,1 m　 　　　　　　D．－4 m,0，－1 m

[解析]　根据题意建立如右图所示的坐标系，0抛出点，坐标为－2 m，B点为坐标原点，D点为地面，坐标为2 m，C点为接住点，坐标为1 m，所以选项B正确．

[答案]　B

1．关于位移和路程，下列说法正确的是(　)

A．沿直线运动的物体，位移和路程是相等的

B．质点沿不同的路径由A到B，路程可能不同而位移一定相同

C．质点通过一段路程，其位移可能为零

D．质点运动位移的大小可能大于路程

[解析]　由于位移是矢量，而路程是标量，如果质点沿直线运动且没有往复时，位移与路程只是大小相等，若有往复，其大小也不相等，故A错；由于位移只与初、末位置有关，与路径无关，故B正确；若质点沿曲线运动一个过程之后又回到出发点时，位移为零，在任何情况下质点的位移都不可能大于路程，故C正确，D错．

[答案]　BC

2.位置变化的描述--位移

(本栏目内容，学生用书中以活页形式分册装订成册！)

15.

如右图，圆O：x²+y²=16与x轴交于A、B两点，l₁、l₂是分别过A、B点的⊙O的切线，过此圆上的另一点P(P点是圆上任一不与A、B重合的点)作此圆的切线，分别交l₁、l₂于C、D点，且AD、BC两直线的交点为M.

(1)当P点运动时，求切点M的轨迹方程；

(2)判断是否存在点Q(a,0)(a>0)使得Q点到轨迹上的点的最近距离为.若存在，求出所有这样的点Q；若不存在，请说明理由．

解：(1)设P(x₀，y₀)，M(x，y)，则x+y＝16，切线CD为x₀x+y₀y＝16.

由A(－4,0)，B(4,0)，得C(－4，)，

D(4，)．

∴直线AD：y＝(x+4)，直线BC：y＝－(x－4)，联立解得

代入x+y＝16，得x²+4y²＝16.

∵点P与A、B都不重合，∴y≠0.

故所求的轨迹方程是x²+4y²＝16(y≠0)．

(2)存在．

假设存在满足条件的点Q(a,0)，则d＝＝(－4<x<4)，

则当－4<a<4，即0<a<3时，

d_min＝＝，解得a＝.

当a≥3时，因为－4<x<4，此时d不存在最小值．

综上，存在这样的点Q，其坐标为(，0)．

14．已知圆C：x²+y²－2x+4y－4＝0，问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由．

解：假设存在直线l满足题设条件，设l的方程为y＝x+m，圆C化为(x－1)²+(y+2)²＝9，圆心C(1，－2)，则AB中点N是两直线x－y+m＝0与y+2＝－(x－1)的交点即N(－，)，以AB为直径的圆经过原点，

∴|AN|＝|ON|，又CN⊥AB，|CN|＝，

∴|AN|＝.

又|ON|＝，

由|AN|＝|ON|，解得m＝－4或m＝1.

∴存在直线l，其方程为y＝x－4或y＝x+1.

13．已知曲线C：x²+y²－4ax+2ay－20+20a＝0.

(1)证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；

(2)当a≠2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上；

(3)若曲线C与x轴相切，求a的值．

(1)证明：曲线C的方程可变形为

(x²+y²－20)+(－4x+2y+20)a＝0，

由，解得，

点(4，－2)满足C的方程，故曲线C过定点(4，－2)．

(2)证明：原方程配方得(x－2a)²+(y+a)²＝5(a－2)²，

∵a≠2时，5(a－2)²>0，∴C的方程表示圆心是(2a，－a)，半径是|a－2|的圆．

设圆心坐标为(x，y)，则有，

消去a得y＝－x，故圆心必在直线y＝－x上．

(3)解：由题意得|a－2|＝|a|，解得a＝.

12．已知圆C：x²+y²+2x－4y+3＝0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程．

解：∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等，

∴切线的斜率是±1或过原点．

切线不过原点时，设切线方程为y＝－x+b或y＝x+c，分别代入圆C的方程得2x²－2(b－3)x+(b²－4b+3)＝0或2x²+2(c－1)x+(c²－4c+3)＝0，

由于相切，则方程有等根，∴Δ₁＝0，

即[2(b－3)]²－4×2×(b²－4b+3)＝－b²+2b+3＝0，

∴b＝3或－1，

Δ₂＝0，

即[2(c－1)]²－4×2×(c²－4c+3)＝－c²+6c－5＝0.

∴c＝5或1，

当切线过原点时，设切线为y＝kx，即kx－y＝0.

由＝，得k＝2±.

∴y＝(2±)x，故所求切线方程为：

x+y－3＝0，x+y+1＝0，x－y+5＝0，x－y+1＝0，y＝(2±)x.

11．(2008·湖南文)将圆x²+y²＝1沿x轴正向平移1个单位后得到圆C，则圆C的方程是____________；若过点(3,0)的直线l和圆C相切，则直线l的斜率是________．

答案：(x－1)²+y²＝1　或－

解析：因为圆平移后半径不变，圆心变化，所以圆心(0,0)向右平移1个单位后得到点(1,0)，即平移后的圆心C.所以圆C的方程为(x－1)²+y²＝1.

设l的方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0.

则＝1，∴k＝±.

10．(2008·福建)若直线3x+4y+m＝0与圆(θ为参数)没有公共点，则实数m的取值范围是________．

答案：(－∞，0)∪(10，+∞)

解析：把圆的参数方程化成普通方程为

(x－1)²+(y+2)²＝1，

由已知直线与圆相离，

∴>1，

解得m<0或m>10，故填(－∞，0)∪(10，+∞)．

9．(2009·朝阳4月)已知动直线l平分圆C：(x－2)²+(y－1)²＝1，则直线l与圆O：(θ为参数)的位置关系是________．

答案：相交

解析：动直线l平分圆C：(x－2)²+(y－1)²＝1，即圆心(2,1)在直线上，又圆O：即x²+y²＝9，且2²+1²<9，(2,1)在圆O内，则直线l与圆O：(θ为参数)的位置关系是相交，故填相交．