7.若关于x的方程|x－6x+8|＝a恰有两个不等实根，则实数a的取值范围是____________。

6. 对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x+px〉4x+p－3成立的x的取值范围是________。

5.等差数列{a}中，a＝84，前n项和为S,已知S>0，S<0，则当n＝______时，S最大。

4.已知{a}是等比数列，且a+a+a＝18，a+a+a＝－9，S＝a+a+…+a，那么S等于_____。

　 A.　 8　　　 B.　 16　　　 C.　 32　　　 D.　 48

3.　　　　 已知函数f(x)＝log(x－4x+8)， x∈[0,2]的最大值为－2，则a＝_____。

A.　 　　　B.　 　　　C.　 2　　 D.　 4

2.　　　　 已知函数f(x)＝|2－1|，a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，则_____。

A. a<0,b<0,c>0　　 B. a<0,b>0,c>0　　 C. 2<2　　 D. 2+2<2

1.　　　　 方程sin2x＝sinx在区间(0,2π)内解的个数是_____。

A.　 1　　　 B.　 2　　 C.　 3　　 　D.　 4

8. 建造一个容积为8m，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为___________。

[简解]1小题：图像法解方程，也可代入各区间的一个数(特值法或代入法)，选C；

2小题：函数f(x)的对称轴为2，结合其单调性，选A；

3小题：从反面考虑，注意应用特例，选B；

4小题：设tg＝x (x>0)，则+＝，解出x＝2，再用万能公式，选A；

5小题：利用是关于n的一次函数，设S＝S＝m，＝x，则(,p)、(,q)、(x，p+q)在同一直线上，由两点斜率相等解得x＝0，则答案：0；

6小题：设cosx＝t，t∈[-1,1]，则a＝t－t－1∈[－,1]，所以答案：[－,1]；

7小题：设高h，由体积解出h＝2，答案：24；

8小题：设长x，则宽，造价y＝4×120+4x×80+×80≥1760，答案：1760。

Ⅱ、示范性题组：

例1. 设a>0，a≠1，试求方程log(x－ak)＝log(x－a)有实数解的k的范围。(89年全国高考)

[分析]由换底公式进行换底后出现同底，再进行等价转化为方程组，分离参数后分析式子特点，从而选用三角换元法，用三角函数的值域求解。

[解] 将原方程化为：log(x－ak)＝log，　 等价于 　(a>0,a≠1)

∴ k＝－　 ( ||>1 ),　

设＝cscθ，　 θ∈(－,0)∪(0, )，则 k＝f(θ)＝cscθ－|ctgθ|

当θ∈(－,0)时，f(θ)＝cscθ+ctgθ＝ctg<－1，故k<－1；

当θ∈(0, )时，f(θ)＝cscθ－ctgθ＝tg∈(0,1)，故0<k<1；

综上所述，k的取值范围是：k<－1或0<k<1。

y　　　　 C 　C　　　　 　 　　　　　　　 -ak 　　　　 -a　　　　　 a　　　　　 x

[注] 求参数的范围，分离参数后变成函数值域的问题，观察所求函数式，引入新的变量，转化为三角函数的值域问题，在进行三角换元时，要注意新的变量的范围。一般地，此种思路可以解决有关不等式、方程、最大值和最小值、参数范围之类的问题。本题还用到了分离参数法、三角换元法、等价转化思想等数学思想方法。

另一种解题思路是采取“数形结合法”： 将原方程化为：log(x－ak)＝log，等价于x－ak＝ (x－ak>0)，设曲线C：y＝x－ak，曲线C：y＝ (y>0)，如图所示。

由图可知，当－ak>a或－a<－ak<0时曲线C与C有交点，即方程有实解。所以k的取值范围是：k<－1或0<k<1。

还有一种思路是直接解出方程的根，然后对方程的根进行讨论，具体过程是：原方程等价变形为后，解得：，所以>ak，即－k>0，通分得<0，解得k<－1或0<k<1。所以k的取值范围是：k<－1或0<k<1。

例2. 设不等式2x－1>m(x－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。

[分析] 此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论。然而，若变换一个角度以m为变量，即关于m的一次不等式(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2]上恒成立的问题。对此的研究，设f(m)＝(x－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数(或常数函数)f(m)的值在[-2,2]内恒为负值时参数x应该满足的条件。

[解]问题可变成关于m的一次不等式：(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2] 恒成立，设f(m)＝(x－1)m－(2x－1),

则

解得x∈(,)

[注] 本题的关键是变换角度，以参数m作为自变量而构造函数式，不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题。本题有别于关于x的不等式2x－1>m(x－1)的解集是[-2,2]时求m的值、关于x的不等式2x－1>m(x－1)在[-2,2]上恒成立时求m的范围。

一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。或者含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函数，更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题。

例3. 设等差数列{a}的前n项的和为S，已知a＝12，S>0，S<0 。

①.求公差d的取值范围； ②.指出S、S、…、S中哪一个值最大，并说明理由。(92年全国高考)

[分析] ①问利用公式a与S建立不等式，容易求解d的范围；②问利用S是n的二次函数，将S中哪一个值最大，变成求二次函数中n为何值时S取最大值的函数最值问题。

[解]① 由a＝a+2d＝12,得到a＝12－2d，所以

S＝12a+66d＝12(12－2d)+66d＝144+42d>0，

S＝13a+78d＝13(12－2d)+78d＝156+52d<0。

　解得：－<d<－3。

② S＝na+n(n1－1)d＝n(12－2d)+n(n－1)d

＝[n－(5－)]－[(5－)]

因为d<0，故[n－(5－)]最小时，S最大。由－<d<－3得6<(5－)<6.5，故正整数n＝6时[n－(5－)]最小，所以S最大。

[注] 数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。也可以利用方程的思想，设出未知的量，建立等式关系即方程，将问题进行算式化，从而简洁明快。由次可见，利用函数与方程的思想来解决问题，要求灵活地运用、巧妙的结合，发展了学生思维品质的深刻性、独创性。

本题的另一种思路是寻求a>0、a<0 ，即：由d<0知道a>a>…>a，由S＝13a<0得a<0，由S＝6(a+a)>0得a>0。所以，在S、S、…、S中，S的值最大。

例4. 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设∠BAC＝θ，PA＝AB=2r，求异面直线PB和AC的距离。

[分析] 异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。

P 　　　　 M A　　　　 H　　　 B 　　 D　　 C

[解] 在PB上任取一点M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H，

设MH＝x，则MH⊥平面ABC，AC⊥HD 。

∴MD＝x+[(2r－x)sinθ]＝(sin+1)x－4rsinθx+4rsinθ

＝(sinθ+1)[x－]+

即当x＝时，MD取最小值为两异面直线的距离。

[注] 本题巧在将立体几何中“异面直线的距离”变成“求异面直线上两点之间距离的最小值”，并设立合适的变量将问题变成代数中的“函数问题”。一般地，对于求最大值、最小值的实际问题，先将文字说明转化成数学语言后，再建立数学模型和函数关系式，然后利用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答。比如再现性题组第8题就是典型的例子。

例5. 已知△ABC三内角A、B、C的大小成等差数列，且tgA·tgC＝2+，又知顶点C的对边c上的高等于4,求△ABC的三边a、b、c及三内角。

[分析]已知了一个积式，考虑能否由其它已知得到一个和式，再用方程思想求解。

[解] 由A、B、C成等差数列，可得B＝60°；

由△ABC中tgA+tgB+tgC＝tgA·tgB·tgC，得

tgA+tgC＝tgB(tgA·tgC－1)＝ (1+)

设tgA、tgC是方程x－(+3)x+2+＝0的两根，解得x＝1，x＝2+

设A<C，则tgA＝1，tgC＝2+，　 ∴A＝，C＝

由此容易得到a＝8，b＝4，c＝4+4。

[注]本题的解答关键是利用“△ABC中tgA+tgB+tgC＝tgA·tgB·tgC”这一条性质得到tgA+tgC，从而设立方程求出tgA和tgC的值，使问题得到解决。

例6. 若(z－x) －4(x－y)(y－z)＝0,求证：x、y、z成等差数列。

[分析] 观察题设，发现正好是判别式b－4ac＝0的形式，因此联想到构造一个一元二次方程进行求解。

[证明] 当x＝y时，可得x＝z，　 ∴x、y、z成等差数列；

当x≠y时，设方程(x－y)t－(z－x)t+(y－z)＝0，由△＝0得t＝t，并易知t＝1是方程的根。

∴t·t＝＝1　 ，　 即2y＝x+z ，　　 ∴x、y、z成等差数列

[注]一般地，题设条件中如果已经具备或经过变形整理后具备了“x+x＝a、x·x＝b”的形式，则可以利用根与系数的关系构造方程；如果具备b－4ac≥0或b－4ac≤0的形式，可以利用根的判别式构造一元二次方程。这种方法使得非方程问题用方程思想来解决，体现了一定的技巧性，也是解题基本方法中的一种“构造法”。

例7. △ABC中，求证：cosA·cosB·cosC≤ 。

[分析]考虑首先使用三角公式进行变形，结合三角形中有关的性质和定理，主要是运用“三角形的内角和为180°”。变形后再通过观察式子的特点而选择和发现最合适的方法解决。

[证明] 设k＝cosA·cosB·cosC＝[cos(A+B)+cos(A－B)]·cosC＝[－cosC+cos(A－B)]cosC

整理得：cosC－cos(A－B)·cosC+2k＝0，即看作关于cosC的一元二次方程。

∴　 △＝cos(A－B)－8k≥0　 即 8k≤cos(A－B)≤1　

∴ k≤即cosA·cosB·cosC≤

[注]本题原本是三角问题，引入参数后，通过三角变形，发现了其等式具有“二次”特点，于是联想了一元二次方程，将问题变成代数中的方程有实解的问题，这既是“方程思想”，也体现了“判别式法”、“参数法”。

此题的另外一种思路是使用“放缩法”,在放缩过程中也体现了“配方法”，具体解答过程是：cosA·cosB·cosC＝[cos(A+B)+cos(A－B)]·cosC　 ＝－cosC+cos(A－B)·cosC＝－ [cosC－]+cos(A－B)≤cos(A－B) ≤。

例8. 设f(x)＝lg，如果当x∈(-∞,1]时f(x)有意义，求实数a的取值范围。

[分析]当x∈(-∞,1]时f(x)＝lg有意义的函数问题，转化为1+2+4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式问题。

[解] 由题设可知，不等式1+2+4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立，

即：()+()+a>0在x∈(-∞,1]上恒成立。

设t＝(),　 则t≥，　 又设g(t)＝t+t+a，其对称轴为t＝－

∴ t+t+a＝0在[,+∞)上无实根，　 即 g()＝()++a>0，得a>－

所以a的取值范围是a>－。

[注]对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化。

在解决不等式()+()+a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的问题时，也可使用“分离参数法”： 设t＝(),　 t≥，则有a＝－t－t∈(－∞,－]，所以a的取值范围是a>－。其中最后得到a的范围，是利用了二次函数在某区间上值域的研究，也可属应用“函数思想”。

Ⅲ、巩固性题组：

7.正六棱锥的体积为48,侧面与底面所成的角为45°，则此棱锥的侧面积为___________。

6.关于x的方程sinx+cosx+a＝0有实根，则实数a的取值范围是__________。