由A、P、M三点共线，得m=                                                                   …7分

20．(1)由题意，知a=2c，=4，解得a=2,c=1,∴b=，故椭圆方程为 …5分

(2)设P(2cosθ, sinθ),M(4,m),N(4,n),则A(－2,0),B(2,0),

 f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)－f(b)                                   …12分

ln+ln≥0alna+blnb+(a+b)ln2－(a+b)ln(a+b)≥0

(3)∵a＞0,b＞0∴在(2)中取x=，k=2,可得f()+ f(2－)≥2ln1 f()+ f()≥0

由＞0，得＜x＜k，由＜0，得0＜x＜，

∴函数g(x)在(0, ) 上单调递减；在(, k)上单调递增，                …7分

故函数g(x)的最小值是：y_min=g()=kln.                             …8分

∴= ln x+1－[ln (k－x)+1]= ln                               …5分

19. (1)解：∵= ln x+1，解＞0，得x＞；解＜0，得0＜x＜，

∴f(x)的单调递增区间是(,+∞)，单调递减区间是(0, ).                 …3分

(2) ∵g(x)= f(x)+ f(k－x)=x ln x+(k－x)ln(k－x),定义域是(0, k)

∴二面角A₁－BC₁－B₁为arccos. 即arctan,又∵＞

∴二面角A₁－BC₁－B₁大于60°， ∴M在棱AA₁上时，二面角M－BC₁－B₁总大于60°，故棱AA₁上不存在使二面角M－BC₁－B₁的大小为60°的点M.                           …12分

(2)设=（x,y,1）为平面A₁BC₁的一个法向量，则，且，即解得∴=（,,1），同理，设=（x,y,1）为平面B₁BC₁的一个法向量，则，且，即解得∴=（－,0,1），∴cos<,>==－