Question

某教师发给学生一份有100多题目的“复习题”，老师说，请你们回家去作题号能被2和3整除的题目．同学们发现，布置的题在复习题总数中占的比值X满足

8

51

＜X＜

4

25

这套复习题共有

 

道．

Answer 1

考点：不等方程的分析求解

专题：

分析：设这套复习题共有y道题，因为能被2和3整除的题目一定是6的倍数，由此可得：y=6m+n，其中0≤n≤5，m就是布置的题数（即题号能被6整除的题目的个数）．根据题意有：

8

51

＜

m

y

＜

4

25

，也就是：

8

51

＜

m

6m+n

＜

4

25

，改写为：

25

4

＜

6m+n

m

＜

51

8

，整理得：

1

4

＜

n

m

＜

3

8

．然后根据分数的基本性质讨论n和m的值即可．

解答： 解：设这套复习题共有y道题，可得：
y=6m+n，其中0≤n≤5，m就是布置的题数（即题号能被6整除的题目的个数）．
根据题意有：

8

51

＜

m

y

＜

4

25

，也就是：

8

51

＜

m

6m+n

＜

4

25

，改写为：

25

4

＜

6m+n

m

＜

51

8

，整理得：

1

4

＜

n

m

＜

3

8

．
如果改写为：

2

8

＜

n

m

＜

3

8

，则无解；
如果改写为：

4

16

＜

n

m

＜

6

16

则可得：n=5、m=16，此时得：y=6×16+5=101；
如果改写为：

6

24

＜

n

m

＜

9

24

，则可得：n=7或8，但n＞5，不符合0≤n≤5，所以此时也无解；
总之，这套复习题共有101道题．
故答案为：101．

点评：本题属于复杂的数论问题，关键是构建布置的题数与总题数之间的关系式，然后再根据不等式筛选即可．