Question

15．用以下两种方法推导圆的面积公式．
（1）如图1，梯形的（上底+下底）相当于圆的周长（2πr）的一半，梯形的高相当于圆的半径（r）的2倍，梯形面积=（上底+下底）×高×$\frac{1}{2}$=$\frac{（）}{2}$×2r×$\frac{1}{2}$=πr²；
（2）如图2，三角形的底相当于圆周长的$\frac{1}{4}$，三角形的高相当于圆的半径（r）的4倍，三角形的面积=底×高×$\frac{1}{2}$=$\frac{（）}{4}$×4r×$\frac{1}{2}$=πr²．

Answer 1

分析 （1）把一个圆平均分成16份，绘成一个近似的梯形，梯形的上、下底之和相当于这个圆周长的一半，高相当于圆半径的2倍，根据圆周长计算公式，C=2πr，代入梯形面积公式“梯形面积=（上底+下底）×高×$\frac{1}{2}$”，即可求出用字母表示的梯形的面积，也就是圆的面积．
（2）三角形的底相当于圆周长的$\frac{1}{4}$，三角形的高相当于圆的半径（r）的4倍，根据三角形的面积公式“三角形的面积=底×高×$\frac{1}{2}$”即可求出三角形的面积，即圆的面积．

解答 解：（1）梯形的（上底+下底）相当于圆的周长（2πr）的一半，梯形的高相当于圆的半径（r）的2倍，
梯形面积=（上底+下底）×高×$\frac{1}{2}$
=$\frac{2πr}{2}$×2r×$\frac{1}{2}$
=πr²．

（2）三角形的底相当于圆周长的$\frac{1}{4}$，三角形的高相当于圆的半径（r）的4倍，
三角形的面积=底×高×$\frac{1}{2}$
=$\frac{2πr}{4}$×4r×$\frac{1}{2}$
=πr²，
故答案为：周长（2πr），半径（r），2πr，2r，πr²；$\frac{1}{4}$，半径（r），2πr，4r，πr²．

点评 此题是考查除传统方法外的圆面积的推导方法，关键是确定所求所拼成的图形的面积的有关数据与圆中有关数据之间的关系．