Question

将自然数1，2，3…15，这15个自然数分成两组数A和B．求证：A或者B中，必有两个不同的数的和为完全平方数．

Answer 1

分析：运用反证法，假设A、B两组中都没有不同的两个数的和是完全平方数，逐步讨论，证明它是错误的即可．

解答：解：假设A、B两组中都没有不同的两个数的和是完全平方数．
不妨设1在A组
1+3=4=2²，1+15=16=4²；
所以3，15都在B组
3+6=9=3²；
6须在A组
6+10=16=4²；
又得到10应在B组，这时，B组已有两数和为完全平方数了．
10+15=25=5²；
所以，在A组或B组中，必有两个不相同的数的和为完全平方数．

点评：本题利用反证法，通过计算出A、B两组数字中两个数的和都有完全平方数即可证明．