Question

把6cm×10cm的长方形沿点线分割成4个图形，请按下面两个要求分割．
①分割后的4个图形，面积可大可小，但它们应该互为相似形．
②分割后的4个图形，可以有面积相等的，但不能都是面积相等的图形．
请回答出4种分割方法，并分别在解答栏中用实线画出．（翻转后如果同另一种分割重叠的话，将看做是同一种分割方法．）

Answer 1

考点：图形划分

专题：平面图形的认识与计算

分析：把一个多边形的各边都扩大或缩小相同的倍数后与另一个多边形的每一对应边都完全重合，这样的两个多边形就是相似形．例如，所有的等边三角形都是相似的，所有的正方形都是相似的．
把大长方形沿点线分割成4部分，可以将其分成四个长方形．根据长方形长与宽的不同比值，结合题意，枚举出每一类可能分割出的长方形，看用哪一类中的4个长方形（面积不同的）能拼出6cm×10cm的长方形（为了叙述方便，下面省去单位），据此即可解答问题．

解答： 解：（一）1×n形（即长方形长与宽的比是1：n，n是整数）
（l）最小的长方形是1×1，与它相似的长方形有2×2，3×3，4×4，5×5，6×6．
可以分割出6×6的长方形（见图1）．

不能分割出5×5的长方形（见图2），因为不论把5×5的长方形放在6×10的长方形中的哪一位置，在这个5×5的长方形的上边（或下边）的5个小正方形，只能分割成5块1×1的长方形，这显然不合题意．
分割出的长方形中最大的不可能是4×4或更小的．因为（4×4）×4=64＞6×10，（4×4）×3+（3×3）×1=57＜6×10．
（2）最小的长方形是1×2，与其相似的长方形有2×4，3×6，4×8，5×10．
不能分割出5×10的长方形（分析同（1）中 5×5）．
也不能分割出4×8的长方形（见图3），因为6×10-（4×8）×1=32，（2×4）×3=24＜32．

还不能分割出3×6的长方形．不能分出4个3×6的长方形，因为（3×6）×4=72＞6×10．不能分出3个3×6的长方形，因为6×10-（3×6）×3=6，1×2=2＜6，2×4=8＞6．不能分出2个3×6的长方形，因为60-（3×6）×2=24，（2×4）×2=16＜24，也不能分出1个 3×6的长方形，因为（3×6）×l+（2×4）×3=42＜60．
更不能分割出2×4或回1×2的长方形，因为（2×4）×4=32＜6×10．
（3）最小的长方形是1×3，与其相似的长方形有2×6，3×9．
可以分割出3×9的长方形（见图4）．

不能分割出2×6的长方形，因为（2×6）×4=48＜6×10．
（4）最小的长方形是1×4，与其相似的长方形有2×8，这样的两个长方形都不能分割出来．因为（2×8）×4=64＞6×10，（2×8）×3+（1×4）×1=52＜6×10．
（5）最小的长方形是1×5，与其相似的长方形有2×10，这样的两个长方形都不能分割出来．因为（2×10）×3=6×10，（2×10）×2+（1×5）×2=50＜6×10．
（6）同样可以证明不能分割出 1×6、1×7、1×8、1×9、1×10这些长方形．

（二）对于2×n、3×n、4×n、5×n形的长方形，按照（一）的分析方法，可以找到一种符合题意的分割方法，如下图所示：

也可以把6×10的长方形沿点线分割成其他多边形，如下图所示：

点评：此题考查了图形的划分，关键是明确相似形的定义，从而确定出分割成的各个图形的边长，是个难题．