Question

在一张三角形纸内任作2009个互不重合的点（所有的点都不在三角形的任意一条边上），以这2009个点和三角形纸的3个顶点为顶点的三角形，最多能剪出多少个？

Answer 1

考点：组合图形的计数

专题：操作、归纳计数问题

分析：要求剪出的三角形的个数尽可能多，那么就要求三角形内的所有点都尽可能是小三角形的顶点．
三角形内的每个点最多能够提供360°的圆周角，那么把图形完全剪开后，所有小三角形的内角和加起来不能超过 360°×2009+180°，所以小三角形的个数不能超过（360°×2009+180°）÷180°=4019个．
下面给出一种取法，使得小三角形的个数为4019个：三角形内放一个点，可剪出3个三角形，再将第2个点放到其中一个新三角形里，这样多出2个三角形，之后的每个点都放到之前产生的2个新三角形之中的一个，依次下去，得到4019个小三角形．

解答： 解：根据题干分析可得：
三角形内的每个点最多能够提供360°的圆周角，那么把图形完全剪开后，所有小三角形的内角和加起来不能超过 360°×2009+180°，所以小三角形的个数不能超过
（360°×2009+180°）÷180°=4019（个）
答：最多能剪4019个三角形．

点评：本题的思想就是利用角度和来对三角形的个数进行计数．